Discoteca exponencial y otros chistes

¿Qué es un oso polar?
Un oso rectangular, después de un cambio de coordenadas

¿Por qué se suicidó el libro de mates?
Porque tenía demasiados problemas (Ayyyy... que me parto).

Me di cuenta de que iba a suspender las matemáticas cuando un día el profesor dijo en clase "Sea un épsilon menor que 37", y de repente todo el mundo se echó a reír. (Si no lo entendéis, dejad un comentario).

Un ingeniero paleolítico había llegado a imaginar un carro, y quería construirlo. Pero no tenía ruedas. Entonces primero construyó un prototipo de rueda cuadrada, y cuando las puso en el carro se dio cuenta de que el carro iba dando botes y resultaba incómodo. Empezó a pensar en la forma de resolver el problema, y llego a la conclusión de que la causa eran las esquinas de las ruedas, así que la primera solución que se le ocurrió fue la de eliminar las esquinas, pero no sabía cómo. Así que la siguiente idea fue: "Ya que no sé cómo eliminar las esquinas, al menos podría hacer que su efecto fuese menor". Entonces intentó minimizar el número de esquinas, y el siguiente prototipo de rueda fue triangular.

Dos aeronautas viajan en globo. Un fuerte viento les arrastra durante muchas horas, y se encuentran perdidos. Hacen descender su aeróstato en un prado, y, sin apearse del mismo, le preguntan a la única persona que encuentran por allí:
- Perdone, buen hombre, ¿dónde nos encontramos?
El lugareño se lo piensa un rato y responde:
- En un globo.
Entonces uno de los aeronautas le dice al otro
- Vámonos de aquí a preguntarle a otro, porque éste es idiota.
- No, hombre, no es idiota. Lo que pasa es que es matemático.
- Ah, ¿sí?, ¿Y cómo lo sabes?
- Pues muy sencillo, porque le hemos hecho una pregunta bien sencilla que cualquier persona normal podría haber respondido inmediata y eficazmente; pero él lo ha pensado largamente, y al final ha dicho algo totalmente cierto, absolutamente exacto, pero que ya sabíamos, y que además no nos sirve para nada.

Un matemático pasea por el campo, sin nada que hacer, aburrido. Encuentra a un pastor que cuida un numeroso rebaño de ovejas, y decide divertirse un poco a costa del paleto.
- Buenos días, buen pastor.
- Buenos días tenga usted.
- Solitario oficio, el de pastor, ¿no?
- Usted es la primera persona que veo en seis días.
- Estará usted muy aburrido.
- Daría cualquier cosa por un buen entretenimiento.
- Mire, le propongo un juego. Yo le adivino el número exacto de ovejas que hay en su rebaño, y si acierto, me regala usted una. ¿Qué le parece?
- Trato hecho.
El matemático pasa su vista por encima de las cabezas del ganado, murmurando cosas, y en unos segundos anuncia:
- 586 ovejas.
El pastor, admirado, confirma que ése es el número preciso de ovejas del rebaño. Se cumple en efecto el trato acordado, y el matemático comienza a alejarse con la oveja escogida por él mismo.
- Espere un momento, señor. ¿Me permitira una oportunidad de revancha?
- Hombre, naturalmente.
Pues ¿qué le parece, que si yo le acierto su profesión, me devuelva usted la oveja?
- Pues venga.
El pastor sonrie, porque sabe que ha ganado, y sentencia:
- Usted es matemático.
- ¡Caramba! Ha acertado. Pero no acierto a comprender cómo. Cualquiera con buen ojo para los números podría haber contado sus ovejas.

- Sí, sí, pero sólo un matemático hubiera sido capaz, entre 586 ovejas, de llevarse el perro.

 

- Tú que eres matemático, crees en Dios ?
- Sí, salvo isomorfismos.

- Qué es una región compacta ?
- Aquella que puede ser vigilada por un numero finito de policías miopes.

CÓMO SE PONEN LAS NOTAS

    * DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA: Se colocan los estudiantes por orden alfabético sobre una gráfica, distribuidos a lo largo de una gaussiana.
    * DEPARTAMENTO DE PSICOLOGÍA: Los estudiantes hacen una mancha en el examen, y el profesor pone la nota de acuerdo con lo primero que le sugiere dicha mancha.
    * DEPARTAMENTO DE COMPUTACIÓN: Se usa un generador de números aleatorios
    * DEPARTAMENTO DE HISTORIA: Cada estudiante recibe la misma nota que el año anterior.
    * DEPARTAMENTO DE RELIGIÓN: Dios pone las notas. (Inapelable)
    * DEPARTAMENTO DE FILOSOFÍA: Para que queréis notas ?
    * DEPARTAMENTO DE DERECHO: Los estudiantes tienen que defender el por qué se merecen un sobresaliente.
    * DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS: Las notas son variables aleatorias.

MÉTODOS PARA CAZAR UN LEÓN

    * EL MÉTODO DE LA GEOMETRÍA DE INVERSIÓN: Pon una jaula esférica en mitad de la selva. Enciérrate dentro de ella. Haz un inversión con respecto a la jaula; ahora el exterior está dentro de la jaula, con TODOS los leones.
    * EL MÉTODO DE LA TEORÍA DE LA MEDIDA: La selva es un espacio separable, por tanto existe una sucesión de puntos que converge al león. Seguimos estos puntos silenciosamente para acercarnos al león tanto como queramos, con el equipo adecuado, y lo matamos.
    * EL MÉTODO TOPOLÓGICO: Observamos que el león tiene por lo menos la conectividad de un toro, por lo tanto lo podemos llevar a un espacio cuatridimensional, y lo manipulamos para hacerle un nudo cuando lo devolvamos al espacio tridimensional. Estará indefenso.
    * EL MÉTODO TERMODINÁMICO: Construimos una membrana semipermeable, permeable a todo excepto a los leones, y la paseamos por la selva.
    * EL MÉTODO DE SCHRODINGER: En todo momento existe una probabilidad de que el león esté dentro de la jaula. Ciérrala y siéntate a esperar.

¿Qué hace un matemático si le cuesta 25 pesetas mandar una carta y sólo tiene sellos de 35 y 10 pesetas?
-Pone un sello de 35 y 10 pesetas separados por un signo "menos".

Los agujeros negros son esos puntos donde Dios se ha equivocado y ha dividido por cero.

Porqué Dios jamás recibiría una cátedra en una universidad:

   1. Sólo tiene una publicación importante.
   2. Está escrita en hebreo.
   3. No tiene referencias.
   4. Y además, hay quien duda que el fuese el autor.
   5. Sí, es posible que crease el universo, pero no ha publicado los resultados.
   6. Los científicos han tenido problemas para confirmar experimentalmente la creación.
   7. Resulta complicado trabajar con él.

En realidad los aviones con un solo motor son planeadores, y la hélice no es mas que un ventilador. Si no lo crees, quítala y verás como el piloto empieza a sudar.

Un ingeniero, un matemático y un físico se van a cazar ciervos. Ven a uno, y el físico dispara primero, fallando a la derecha. Luego dispara el ingeniero, fallando a la izquierda. Entonces le preguntan al matemático que si va a disparar o no.
- No, ¿para qué? Prefiere interpolar.

- ¿Cómo sabían que era un ciervo ? El físico observó que su tamaño, color, comportamiento, etc., era el de un ciervo, por tanto era un ciervo. El ingeniero había ido a cazar ciervos, por lo tanto era un ciervo. El matemático le pregunto al físico, con lo cual consiguió reducir el problema a otro anterior.

Le preguntan a un matemático:
- Tú ¿qué harías si vieras una casa ardiendo y justo enfrente una manguera sin conectar a una boca de riegos?
- La conectaría, obviamente.
- ¿Y si la casa no estuviese ardiendo, pero la manguera estuviese conectada?
- Quemaría la casa, desconectaría la manguera y luego usaría el método anterior.

Un matemático y un físico van a una conferencia de física teórica, con teorías de Kulza-Klein involucrando espacios de dimensión 9. El físico esta hecho polvo al cabo de un rato, pero el matemático parece interesado, a lo que el físico le pregunta, aburrido:
- Oye, ¿cómo puedes aguantar este rollo ?
- Bah, es fácil, todo consiste en visualizarlo.
- Pero ¿cómo visualizar un espacio de dimensión 9?
- Visualizo un espacio de dimensión N y luego hago N igual a 9.

A un ingeniero, un físico y un matemático les ponen como problema el construir una valla alrededor de una casa utilizando la menor cantidad posible de madera. El ingeniero va y construye una valla pequeñita. El físico hace los planos de algo parecido a una valla, justo al lado de las paredes, y tan ligerita que para que no se caiga la tiene que pegar a la casa. Pero el matemático coge un palillo, lo rompe en tres trozos, los pone en forma de triángulo sobre una mesa, y dice: "Como este planeta es topológicamente un esfera, esto está rodeando a la casa."

Un ingeniero, un matemático y un físico se quedan en un hotel a pasar la noche. El ingeniero nota que su cafetera está echando humo, así que se levanta de la cama, la desconecta, la pone en la ducha y la enfría, Luego vuelve a la cama. Un poco más tarde, el físico huele humo también. Se levanta, y ve que una colilla ha caído en una papelera, y algunos papeles han prendido. Empieza a pensar. "Humm. Esto podría ser peligroso si el fuego se extendiera, las altas temperaturas podrían matar a alguien. Debería apagar este fuego. ¿Cómo puedo hacerlo? Vamos a ver.. podría hacer descender la temperatura de la papelera por debajo del punto de ignición del papel, o quizás aislar el combustible del oxígeno... ¡vaya, podría conseguir esto echando agua !" Así que coge la papelera, se va a la ducha, y la llena de agua. Luego se va dormir. El matemático se da cuenta de que su cama esta ardiendo porque unas cenizas de su pipa han prendido en el colchón. Pero como ha estado viendo todo lo anterior, la cosa no le pilla por sorpresa; eso de apagar un fuego es un problema resuelto anteriormente, así que se mete en la cama y se duerme. (Otra forma de acabar el chiste es que el matemático dice "No importa, existe una solución" y se va a la cama ardiendo.)

Un grupo de matemáticos tiene un problema. Tienen que medir la altura del mástil para una bandera, pero sólo tienen una cinta métrica, que obviamente no les sirve para gran cosa. En esto que aparece un ingeniero, le cuentan el problema, y lo que el hace es desmontar el mástil, tumbarlo en el suelo, medirlo, y volverlo a poner vertical. Los matemáticos le dan las gracias y el ingeniero dice "de nada", pero en cuanto se va, uno de los matemáticos les dice a los otros:
- Hay que ver cómo son estos ingenieros, ¿eh? Le decimos que queremos medir la altura, y el tío se queda todo satisfecho cuando consigue medir la anchura.

Un optimista ve un vaso medio lleno.Un pesimista ve un vaso medio vacío. Un ingeniero ve un vaso demasiado grande.

Más chistes matemáticos

En este post he decidido poner esta imagen como cabecera debido a los múltiples guiños a las Matemáticas que se pueden observar en la serie Futurama, Matt Groening. Aquí empiezo, y espero no repetirme:

- ¿Qué le dice un vector a otro?

¿Tienes un momento?

- Se abre el telón y aparecen tres vectores linealmente independientes. ¿Cómo se llama la película?

Rango 3. Nota: Véase Rambo 3.

- Se abre el telón y aparecen dos sistemas de ecuaciones compatibles determinados. ¿Cómo se llama la película?

Cramer contra Cramer. Nota: Véase Kramer vs Kramer.

- El Teorema Fundamental del Cálculo se debe a su fundamentalismo y no porque lo inventara el Sr. Fundamental.

Copyright: Juan Carlos Cabello, profesor de Cálculo de la ETSICCP, con cariño.

- ¿Qué es un Terapeuta?

2¹⁰ Gigapeutas

- Están tres personas conversando en un banco y una de ellas es un matemático. Estaban hablando sobre las ventajas e inconvenientes de estar casado o tener novia. Uno de ellos afirma que es mejor estar casado porque tendrás pareja para simpre. Otro dice que es mejor tener novia porque así, si te cansas de ella, te puedes buscar otra. El matemático, por el contrario, afirma que es mejor tener novia y estar casado. Explica esto diciendo que a la niva le puedes decir que estás con la mujer, a la mujer le puedes decir que estás con la novia, y mientas tanto puedes dedicarte a las Matemáticas.

- Según la Estadística, si vamos mi amigo y yo a un restaurante y pido un pollo para mí solo, entre los dos nos hemos comido medio pollo.

 

   Vale, vale, ya paro. Espero que no os hayáis desencajado la mandíbula... 

   Si os sabéis alguno más. Escribid un comentario con el chiste, que no es tán difícil...

Una sucesión un tanto peculiar

   Una mañana nubosa de Octubre, estaba yo conversando con mi amigo Protágoras, sofista de profesión, sobre la omnipotencia o no de Las Matemáticas. Como buen sofista que era, defendía que la utilidad de ellas dependía del entendimiento de cada uno y que nunca se podrían conocer completamente (recordemos el relativismo y el escepticismo sofista). En mi caso, defendía que eran omnipotentes y que el límite, en la práctica, se lo pone el entendimiento humano.

   Protágoras, al parecer ofendido por mi razonamiento, me propuso una sucesión de números para ver si mi "fe" por Las Matemáticas podría ayudarme a resolverla. La sucesión era la siguiente:

 

4  2  5  2  6  0  3  7  6  4  6  9  0  8  0  4  3  4  9  5  7  3  7  5  4  4  9  4  3  8  0

 

   Justo entonces, nuestro amigo Protágoras se fue corriendo a un barco que iba a zarpar en ese momento. El pobre hombre tuvo la mala suerte de que el barco al que se subió sufría lo que se conoce como "la broma" (véase) y se hundió a los pocos metros de viaje. Murió ahogado.

   Tengo como herencia suya el deber de buscar el patrón de esta serie de números, me llevará un poco de tiempo. Publicaré la solución más adelante.

Nota: Adaptado del libro El prodigio de los números, de Clifford A. Pickover

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SOLUCIÓN

   Sinceramente, esperaba que algún forofo de ese número tan importante me diera la solución. ¿No os recuerda a un número sorprendentemente familiar?

 

4  2  5  2  6  0  3  7  6  4  6  9  0  8  0  4  3  4  9  5  7  3  7  5  4  4  9  4  3  8  0

3  1  4  1  5  9  2  6  5  3  5  8  9  7  9  3  2  3  8  4  6  2  6  4  3  3  8  3  2  7  9

 

   El numerito era 3.141592653589793238462643383279 (¡¡¡PI!!!). Un poco friki, ¿verdad? Una curiosidad: con todas esas cifras se puede obtener la longitud de la órbita de Neptuno con una precisión del milímetro (y creo que más).

   Lo curioso de todo esto es que de ser mi historia cierta, el sofista Protágoras sería el que en ese momento había calculado más cifras de Pi, que sólo sería superado por Ludolph Van Ceulen en 1610 con 37 cifras. Algo curioso, porque despreciaba Las Matemáticas

Iniciación a HP 50g (Parte III)

 En este post hablaré de las operaciones útiles que se pueden hacer con la calculadora. Desde las más simples hasta las más complicadas. Empecemos:

 

Cálculo de límites

   Para hacer este cáculo, al igual que otros muchos abriremos el visor de EQUATION WRITER (3ª fnc del botón ’ ), donde la escritura y programación se harán más intuitivamente.

   Para acceder a esta función hacemos 2ª fnc (recuérdese, botón intro blanco) sobre la tecla del número 4. Veremos en pantalla un menú de aplicacions de Cálculo Numérico. Si nos desplazamos hasta 2. LIMITS & SERIES y pulsamos OK (F6) se nos aparece otro menú. Si nos fijamos en el número 6.CALCULUS..., que sepáis solamente que el tipo de partados con puntos suspensivos delante es para acceder al menú anterior. Para nuestro caso hemos de dirigirmos a 2.lim.

   Aparecen entre paréntesis dos huecos separados por punto y coma en los que hay que insertar a la izquiera la expresión y a la derecha la tendencia. La inserción de la expresión de hace de manera intuitiva. Los botones arriba y abajo sirven para señalar más o menos expresiones y derecha e izquierda para deplazarte a derecha o izquierda. Un ejemplo:

lim(SIN(X) / X ; X==+0)

   Póngase atención en que la tendencia de límite lateral (por la derecha o opr la izquierda) se expresa poniendo un signo + ó - (con el botón +/-) a la izquiera del número en cuestión. De la misma forma se hace cuando la tendencia es a infinito. Infinito se inserta como la 2ª fnc del botón 0. Recuérdese poner el doble igual en este caso. Esta igualdad no es una imposición, es una equivalecia. Prueba a hacer límites más complicados. Si probais con éste, deberíais obtener como resultado 1. Para efectuar estas operaciones, así como cualquier otra en el modo EQW, se debe seleccionar todo y pulsar EVAL (F4).

 

Multiplicación de matrices

   Lo difícil de esta parte es saber escribirlas. Para ello accedemos a la función de MATRIX WRITER (2ª fnc del botón ’ ). Se nos aparece una tabla tipo excel. En cada celda escribimos en número o símbolo que corresponda y pulsamos ENTER. Algunas funciones interesantes de este visor es <-WID o WID-> que sirve para aumentar o disminuir el ancho de las columnas, +ROW, -ROW, +COL, -COL que sirven para añadir o quitar filas o columnas y GO(derecha) y GO(abajo) para que después de insertar un número en una celda, el cursor se desplace automáticamente a la derecha o abajo. Cuando hayamos insertado nuestra primera matriz pulsamos ENTER y ojo, SIN haber insertado ningún número (me refiero a un nuevo número). Insertamos ahora el signo * de multiplicar y luego la segunda matriz que nos falta de la misma forma que la primera. Se puden multiplicar todas las que sean al mismo tiempo, incluso añadienso paréntesis. Sirve también para sumar y restarlas, aunque no lo hayamos dicho.

 

Determinante, rango, transpuesta, traza e inversa de una matriz

   Si activamos la 2ª fnc del botón 5 se nos despliega el menú de MATRICES. Nos vamos a 2.OPERATIONS y de ahí a 6.DET. Entre esos dos paréntesis [] que nos aparecen a la derecha de la palabra DET insertamos nuestra matriz u operación de ellas, si así lo vemos conveniente. De la misma forma podemos calcular la traza si en lugar de seleccionar 6.DET, señeccionamos 16.TRACE. La transpuesta se hace con 17.TRAN. El rango se hace con 10.RANK. Para calcular la inversa simplemente escribimos nuestra matriz y en el extremo de la expresión ponemos ^(-1). Si por algún motivo nos interesase, podemos calcular su cuadrado, el cubo, ^250, ^(-50) y todo lo que queramos.

 

Valores propios y vectores propios de una matriz

   Son los resultantes de hacer el determinante de /A - k·I/ siendo A una matriz dada e I la matriz identidad (del mismo orden que A, obviamente). Para hallarlos, abrimos el menú de MATRICES, seleccionamos 7.EIGENVECTORS y después seleccionamos 2.EGV para vectores propios o 3.EGVL para valores propios. Ahorra mucho tiempo. El uso de estas funciones es análogo a las de DET, RANK, TRAN o TRACE.

 

Sistemas de ecuaciones

   Sí, los sistemas 3x3 de Gauss también se pueden resolver. Incluso de orden mayor, hasta de 99x99, pero que sepáis que como utiliza para el cálculo la Regla de Cramer, podemos asegurar que del 20x20 no pasa, porque esta Regla va por determinantes y el número de operaciones de un determinante es el factorial de su orden. El factorial de 20 era.... ¡¡¡2,43 TRILLONES DE OPERACIONES!!! Bueno, eso era sólo un detalle. Accedemos a la 3ª fnc del botón 7 y nos vamos a 4.Solve lin sys.... Pulsamos OK y se nos aparece una ventana en la que nos piden insertar matrices A, B y X. A es la matriz de coeficientes. B es la matriz vectorial de los términos independientes y X es la matriz vectorial de las incógnitas, de forma que el sistema se expresa de la siguiente manera: A·X = B.

   Cuando hallamos insertado los coeficientes en A y los términos independientes en B pulsando EDIT (F1), nos situamos sobre X: y pulsamos SOLVE. Nos aparecerán ahí mismo las soluciones para x, y y z por orden. Si pulsamos ON y salimos, también nos seguirán apareciendo las soluciones en la pantalla.

 

Representación de funciones reales de variable real

   Para insertar una función en concreto pulsamos el botón de 2ª fnc y luego el botón F1 ( Y= ). Nos aparecerá una lista de funciones que ya tengamos. Podemos cambiar las que tengamos (EDIT), añadir una nueva (ADD) o borrar alguna (DEL). Si pulsamos ADD, nos aparecerá el EQW, donde podremos insertar nuestra función intuitivamente, de la misma forma que el cálculo de límites. Cuando hayamos acabado de insertarla pulsamos ENTER. La tecla ERASE sirve para borrar lo que ya hubiera representado y DRAW sirve para dibujar las gráficas de la lista. Nótese que se dibujarán TODAS las de la lista.

   En el gráfico se puede hacer ZOOM, dibujar rectas y círculos con EDIT, ver las coordenadas de un punto con (X, Y). Si se quiere ver el gráfico directamente, pulsar la 2ª fnc del botón F3 (GRAPH). Es posible que no se vea nuestra función como queramos. Podemos variar la longitud máxima del eje de ordenadas y de abscisas en ese apartado para poder visualizarla como queramos.

   Podemos ver los valores que recibe la función con TABLE. Se puede hacer ZOOM para ver valores según un orden que puede ser decimal, trigonométrico y demás, aunque los pasos de valores (orden y secuencia) se puede controlar en TBLSET (F5). Podemos incluso escribir en la tabla para poder ver el valor correspondiente de la imagen Y.

   En el apartado 2D/3D, se pueden cambiar parámetros de la representación. Hacer representación implítica, polar, histogramas, 3D rápido... según lo que nos haga falta hacer. Hablaremos un poco más de ellos.

 

Derivación e integración

   Abramos el EQW y volvamos otra vez al menú de CALC, pero en este caso seleccionamos el partado 1.DERIV & INTEG.... Detengámonos primero en los apartados 3.DERVX y 8.INTVX. Si seleccionamos alguno de los dos, derivaremos o integraremos la expresión que insertemos entre los paréntesis según el caso. Las operaciones se harán según la variable independiente que hayamos establecido, que suele ser X. No olvidemos que después de insertarla, hemos de seleccionar todo y pulsar EVAL. 

   El apartado 2.DERIV hace lo mismo que 3.DERVX, salvo que en este caso podemos seleccionarla variable con respecto a la que queremos derivar. En DERIV(__,__), rellenamos el primer apartado con la función y el segundo con la variable, así la expresión:

DERIV(x^6 + x^5, x)

   Da como resultado:

6 · x^5 + 5 · x^4

   Esto también se puede hacer con la 3ª fnc (botón naranja) de la tecla COS, que es en definitiva una derivada parcial. Abajo ponemos la variable requerida y entre paréntesis la expresión.

   Para integrar en otra variable, utilizamos el apartado 11.RISCH y se utiliza de la misma forma que 2.DERIV. Para realizar integrales definidas recomiendo utilizar la 3ª fnc del botón TAN. Podemos poner los límites de integración, la función correspondiente y la variable respectiva a la derecha de la d (para conseguir dx, dt o lo que sea). Se pueden acoplar varias integrales definidas y resulta útil para la integración doble y la integración triple.

 

   Y hasta aquí todo.... por hoy.

CONTINUARÁ...

  

Iniciación a HP 50g (Parte II)

   Reanudaré mis pesquisas y continuaré con la calculadora. ¿Por dónde iba.....?

   La tecla HIST quiere decir tecla HISTORIAL y sirve para desplazarte por todas las operaciones que realizaste y que la calculadora tiene guardadas. Esta función permite el desplazamiento por los pasos realizados así como diversas funciones que trataremos más adelante. Si pulsamos 2ª fnc y esta tecla, aparecerá la función CMD o función COMANDOS. Aparecerá una lista con las últimas operaciones o funciones que hemos realizado. Si, por el contrario, pulsamos antes 3ª fnc, seleccionaremos las función UNDO o DESHACER, que sirve para retroceder, pero sólo un paso.

   La tecla EVAL o EVALUAR sirve para efectuar operaciones más complicadas que no se pueden hacer simplemente pulsando el botón ENTER, como integrales, derivadas... La 2ª función de esta tecla es PRG o PROGRAMAS que sirve para activar programas cuyas funciones o utilidades no tengo ni idea. La 3ª fnc es CHARS y sirve para la escritura. Trataremos este apartado más adelante.

   La tecla ’ se utiliza para poder escribir algunas expresiones aritméticas en determinadas ocasiones. La tecla MTRW o MATRIX WRITER es para activar el menú del escritor de matrices del que hablaremos más adelante y se activa con la 2ª fnc. Con la 3ª fnc se abre el EQW o EQUATION WRITER, es decir, del escritor de ecuaciones, muy útil, del que hablaremos más adelante.

   La tecla <- se utiliza para borrar de la misma manera que se utiliza el BackSpace en el teclado de un ordenador. Las 2ª y 3ª fncs sirven para borrar lo seleccionado y para borrar todo respectivamente.

   Las seis teclas que están a la izquierda de las flachas de desplazamiento tienen funciones menos útiles a la hora de hacer cálculos. Las tres de la fila inferior tiene como tercera función las de Copy, Cut y Paste, que se utilizan de la misma manera que en los sistemas operativos de un ordenador. Las teclas principales acompañantes son: NXT (next) para avanzar en la lista de comandos que se puede ver en la parte inferior de la pantalla. VAR, para que aparezcan en esa lista de comandos las últimas cosas que has hecho (hasta 18). STO-> no sé para qué sirve. Viendo ahora las 2ª fncs vemos PREV, que es NXT pero en sentido contrario y UPDIR y RCL que tampoco tengo idea.

   En las tres de la fila de arriba vemos APPS que es para abrir un menú para acceder desde ahí a algunas de las funciones y apartados más importantes de la calculadora, como el EQUATION WRITER, cambio de fecha y hora, comunicación infrarroja, etc. MODE permite acceder a un menú para cambiar modos operacionales y algo de aspecto externo y muestra de los resultados. Profundizaremos más adelante.

   Las 2ª fncs de estas tres son FILES, que permite acceder al sistema de archivos de la calculadora. Si tenéis guardado un libro en la tarjeta SD que la acompaña, podréis visualizarlo desde ahí. Es ideal para exámenes largos y de mucha teoría (pero primero tendrían que  perimit usarla). Otra es i, que sirve para insertar la unidad imaginaria "raíz de -1". Si la insertais, podréis ver como el modo operacional de la calculadora cambia de R (reales) a C (complejos).

   Las seis últimas teclas las dejaremos para después porque se utilizas, además de para seleccionar comandos de la parte inferior de la pantalla, para la representacion de funciones.

   Hasta aquí todo sobre las teclas. Haré un nuevo post donde explicaré todas las utilidades que yo le veo a HP 50g hasta mi nivel de conocimientos. Digamos que el tercer post es el más valioso de los tres. Nos vemos.

Iniciación a HP 50g (Parte I)

   Ya que el post de la calculadora científica no gráfica tuvo mucho éxito, voy a hacer otro sobre la calculadora más potente del mercado, aunque ya se sabe que el término "más potente del mercado" es un término efímero como ya sabremos por experiencia.

   En este post hablaremos de las posibilidades de representación gráfica que posee la calculadora y, aviso, que aquí vendrá mejor explicado que en el manual de instrucciones, que parece que lo ha traducido un ordenador directamente del inglés. Pero antes de ello, haremos un repaso rápido por el teclado de la calculadora. Comencemos pues, pero antes, encendamos la calculadora utilizando la tecla ON, después de haberle colocado las pilas y la tarjeta de memoria SD (aunque ésta última no es necesaria):

   Hay que saber antes de todo, que las teclas blanca y naranja representarán de aquí en adelante 2ª fnc (segunda función) y 3ª fnc (tercera función) respectivamente y que los seis rectángulos negros que aparecen dispuestos un una barra que aparece en la parte inferior de la pantalla son funciones a las que se pueden acceder pulsando los botones F1, F2, F3, F4, F5 y F6 según el lugar que corresponda.

   Nota: Antes de empezar, aclararemos que las explicaciones, hasta que no se diga lo contrario estarán en modo algebraico o "Algebraic". Para cambiarlo o asegurarse, pulse la tecla MODE, en el centro de la segunda fila y, en el apartado de modo de operación u "operating mode", pulse F2 para escoger la opción CHOOS o escoger en caso de que estuviera activado la opción RPN. Desplácese con las flechas de dirección y pulse la tecla F6 para seleccionar la opción OK.

   Computación simple

   No creo que haya que detenerse mucho aquí, pues si ya se tiene una calculadora de esta "envergadura" quiere decir que ya se sabe algo, pero como soy de ciencias, y puntillosos hasta decir basta, lo explicaré igualmente, como en esos libros de cocina n los que te dicen hasta cómo abrir un huevo frito.

   Las teclas 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 son las teclas básicas de inserción de números. Pueden ponerse en número decimal si le damos a la tecla · (punto). Si por casualidad nos equivocásemos, podemos pulsar el botón flecha <--- (borrar) para borrar, aunque hablaremos de esa tecla más adelante.

   Están también las teclas  + (suma), - (resta), x (multiplicación) [nota: en la pantalla, el signo de multiplicación vendrá dado como un asterisco] y / (división) [Nota: perdonen, no encuentro la tecla] que se insertan de manera intuitiva. Para resolver la operación insertada, pulsamos ENTER (entrada) en lugar de = (igual) como toda la vida de Dios. 

   Para realizar operaciones encadenadas, está la fucnión de memoria en forma de respuesta o ANS. Ésta permite que después de un resultado, podamos seguir operando simplemente pulsando el signo de operación justo después de haber obtenido el resultado. Pero si queremos añadir un dato antes de la respuesta, lo que tenemos que hacer es insertarlo y, entonces, pulsar 2ª fnc y el botón ENTER para que aparezca la expresión numérica o algebraica última que obtuvimos.

    Memoria, datos y paréntesis

   Aquí no existe la tecla M para memoria ni nada parecido. Si queremos ver un dato que ya insertamos, sólo tenemos que desplazarnos con la flecha de dirección hacia arriba hasta que lo encontremos. Si queremos copiarlo, que es seguramente lo que nos interesa, hacemos eso mismo, pero cuando estemos en esa línea pulsamos 3ª fnc y la tecla VAR para escoger la opción COPY o copiar. Luego, pulsamos 3ª fnc y la tecla NXT para escoger la opción PASTE o pegar, igual que en un ordenador. Si en lugar de copiar queremos cortar, pulsamos 3ª fnc y la tecla STO>.

   Hablando de los paréntesis, hay que tener en cuenta que, para operar, se utilizan los que aparecen al pulsar 3ª fnc y la tecla - (menos). Los de la tecla x (multiplicación) y los de la tecla + (suma) aún no sé su uso, agradezco aclaración si no me aclaro yo antes, como pasa casi siempre.

   Computación menos simple

   Advertencia: todas estas funciones se insertan antes del dato de cálculo, por ejemplo, para calcular la raíz de un número, ponemos raíz y luego el número.

   La tecla EEX es para multiplicar un número por 10 elevado a otro número que será el que insertemos nosotros  después. Ese número puede estar comprendido entre 499 y -499, aunque si el número que se inserta es superior o inferior a éstos, se pondrán ellos de todas formas. Probad vosotros mismo para entenderlo mejor. Si pulsamos 2ª fnc aparecerá 10^x que sirve para elevar 10 a un número que insertemos. Si pulsamos 3ª fnc, aparecerá el logaritmo decimal.

   La tecla +/- sirve para cambiar de signo o poner + (más) o -  (menos) delante de un múmero para ver si es positivo o negativo. Las 2ª y 3ª fnc de esta tecla son desigualdad e igualdad respectivamente, con aplicaciones variadas.

   La tecla X sirve para insertar la incógnita X en las ecuaciones o en las funciones. Las 2ª y 3ª fnc son menor o igual y menor respectivamente, con aplicaciones variadas.

   La tecla 1/X sirve para calcular la inversa de un número. Las 2ª y 3ª fnc son mayor o igual y mayor respectivamente, con aplicaciones variadas.

   En la tecla / (dividir) encontramos que si pulsamos la tecla 2ª fnc aparecen las barras de valor absoluto. Si lo que pulsamos es la 3ª fnc, apareerá la función ARG o argumento, que sirve para calcular el argumento de un número complejo (hijo de madre real y de padre imaginario, jaja).

   La tecla Y^x sirve para elevar un número cualquiera al exponente que queramos. La 2ª fnc es para elevar el número e a la potencia que queramos y la 3ª fnc sirve para insertar la función de calcular un logaritomo neperiano.

   La tecla √X sirve para calcular la raíz cuadrada de un número. La 2ª fnc es para elevarlo al cuadrado y la 3ª fnc es para calcular la raíx de un número al índice cualquiera de forma que insertamos la función y aparecerá XROOT e insertamos el índice, una coma (insertando la 3ª fnc de la tecla SPC o espacio) y luego el radicando.

   La tecla SIN es para calcular el seno de un número. La 2ª fnc es para calcular el arco seno de un número y la 3ª es el sumatorio, pero no sé cómo insertarlo ni las utilidades, agradezco aclaración.

   La tecla COS es para calcular el coseno de un número. La 2ª fnc es para calcular el arco coseno de un número y la 3ª es la derivada parcial, o derivar con respecto a una variable determinada, que puede ser la propia X o Y o T o cualquier letra. Para esta función, es mejor utilizar el modo de visión de escritor de ecuaciones.

   La tecla TAN sirve para calcular la tangente de un número. La 2ª fnc es para calcular el arco tangente de un número y la 3ª fnc sirve para calcular la integral definida de una función, pero para esto, es mejor utilizar la visión de escritor de ecuaciones, que explicaré más adelante.

   Y hasta aquí puedo ecribir, porque se le están acabando las pilas al teclado. No ovidéis que para cancelar o salir de algún sitio se utiliza el botón ON (por eso en letras azules pone CANCEL).

   Para apagar la calculadora, utilizad la 3ª fnc del botón ON.

                                                                           CONTINUARÁ      

 

Cómo utilizar una calculadora científica (no gráfica)

   En este post vamos a hablar del funcionamiento de las calculadoras cotidianas. Aunque no sea conocimiento puramente matemático, es importante conocer las posibilidades que ofrece la calculadora que posees para sacarle el máximo partido y saber calcular bien, ya que si nos da por fijarnos en la calculadora podríamos decir "¿y esto "pa" qué sirve?" sin saber la gran utilidad que puede tener. Comencemos por lo más básico:

   Computación simple:

   Para realizar operaciones sencillas, como la suma (+), la resta (-), la multiplicación (x) y la división (/), sólo debemos insertar las cantidades con el signo correspondiente y finalidar pulsando la tecla = (igual).

   Cuando se están haciendo operaciones de este tipo en una cadena de forma que no podemos expresarla en resta o división existen técnicas para evitar empezar la cadena de operaciones de nuevo. Me refiero a que si tenemos que operar haciendo a - b, y en la pantalla sólo tenemos b, mediante la tecla "cambio de signo" (+/-) podemos expresarlo como -b y luego sumar a, de forma que hacemos la operación pedida sin rehacer la cadena de operaciones. Lo mismo con la división: si tenemos que realizar a/b y tenemos b en la pantalla, mediante la tecla "inversión" (1/x ó shift + Min) lo podemos expresar como 1/b y luego multiplicar por a, de forma que hacemos la operación pedida sin rehacer la cadena de operaciones.

   Una curiosidad es que si pulsamos dos veces la tecla de operación, aparecerá en la pantalla la letra K de constante. Quiere decir que realizará esa operación con el número de la pantalla como constante (podemos comprobarlo pulsando la tecla = (igual) varias veces.

   Computación menos simple:

   Se pueden realizar operaciones algo más complejas, como la potenciación, la radicación y la logaritmación:

   Para elevar un número a la segunda potencia, simplemente heos de introducir el x² ( shift + tecla √), pero si queremos elevarlo a una potencia mayor, simplemente hemos de introducir la función x^y (shift + tecla multiplicar (x)) seguido del número del exponente al que queremos elevar.

   Para calcular la raíz cuadrada de un número, simplemente hemos de pulsar la tecla √. Si es la raíz tercera, introducimos la función ³√ (shift + tecla cambio de signo (+/-)). Si queremos hacer una raíz de índice mayor, hemos de introducir la función x^1/y (shift + tecla división) seguido del número que corresponde al índice de la raíz.

  En el caso de calcular logaritmos recurrimos a dos teclas: si queremos un logaritmo neperiano (cuya base sea el número e) pulsamos la tecla In o si lo queremos en base 10, pulsamos la tecla log. Mediante las propiedades de los logaritmos, se puede calcular el logaritmo de un número con respecto a cualquier base calculando el cociente del logaritmo (en base 10, por ejemplo) del número entre el logaritmo (de la misma base que el anterior) de la baso con respecto a la que queremos calcular.

   Otras teclas también importantes son la 10^x y la e^x (shift + log y shift + In respectivamente), con la que elevamos 10 ó e al número que tenemos en pantalla (Nota: si teniendo el númeo 1 en pantalla introducimos e^x, obtendremos el número e). Otra tecla en la EXP con la que podemos elevar el número de la pantalla (si y sólo si lo estamos introduciendo. Si no es así, aparecerá el número pi) a la potencia en base 10 desde -99 hasta 99.

   Memoria, datos y paréntesis:

   Existen teclas para memorizar datos. La tecla Min (memoria input) es para introducir un dato a la memoria. La tecla MR (memoria recorder) es para que aparezca en pantalla el número que habíamos memorizado. La tecla M+ (sumar a la memoria) es para sumar el valor que hay en pantalla a la memoria. Tiene el mismo valor que Min en el caso de que no haya ningún valor memorizado. La tecla M- (shift + M+) (restar a la memoria) funciona al contrario que M+.

   Con respecto a la distribución de datos, podemos destacar las teclas AC y C. AC (all clear) sirva para borrar toda la cadena de operaciones de la calculadora y C (clear) sirve para borrar el dato de la pantalla para poder sustituírlo por otro dato (o signo de operación incluso). Sí, sí, ríete, que casi todo el mundo piensa que AC sirve también como C, así que esta aclaración no es tan tonta.

   Los paréntesis en una calculadora son vitales para las cadenas de operaciones. Su funcionamiento es totalmente intuitivo. Pueden insertase hasta 18 pares de paréntesis, pero el número se reduce a 6 si se expresan en multiplicación.

   Computación trigonométrica:

   Por un lado, destacamos las teclas sin (seno), cos (coseno) y tan (tangente) que se utilizan para calcular las relaciones trigonométricas del número que aparece en pantalla (obvio, ¿no?). Existen también sin^-1 (arco seno), cos^-1 (arco coseno) y tan^-1 (arco tangente) para calcular el ángulo correspondiente a una función trigonométrica dada (en la pantalla, claro). Es vital no confundirlo con las inversas del seno, coseno y tangente (cosecante, secante y cotangente respectivamente) que se calculan con la tecla 1/x (shift + Min).

   Por otro, destacamos las relaciones trigonométricas hiperbólicas (en vez de hacerse en una circunferencia, se hacen en una hipérbola) que se calculan pulsando la tecla hyp (hiperbólico) seguido de la tecla correspondiente (seno, coseno o tangente). Si queremos hacer el proceso recíproco, pulsamos hyp, luego shift, y luego la relación trigonométrica.

   Modo de cálculo:

   Se insertan pulsando la tecla MODE seguido del número correspondiente (según el número, un modo diferente).

   Modo de grados o DEG (degree): pulsar MODE seguido de la tecla 4 para operar en relaciones trigonométricas cuyo ángulo recto valga 90º.

   Modo de radiandes RAD: pulsar MODE seguido de la tecla 5 para operar en relaciones trigonométricas cuyo ángulo recto valga π/2.

   Modo de gradianes GRA: pulsar MODE seguido del número 6 para operar con relaciones trigonométricas cuyo ángulo recto valga 100º.

   Modo de fijado o FIX: pulsar MODE seguido del número 7 y luego del número de decimales para que todos los números de la pantalla se expresen redondeados al número de decimales insertados.

   Modo científico o SCI: pulsar MODE seguido del número 8 y el número de decimales para que todos los números de la pantalla se expresen en notación científica en el número de decimales insertados (Nota: si pulsamos 0, apareceran con todos los decimales).

   Modo normalizado o NORM: pulsar MODE seguido del número 9 para operar sin redondeo y sin notación científica.

   Modo estadístico o SD (statistics): pulsar MODE seguido de la tecla punto (·) para operar en modo estadístico. Dedicaremos un apartado a este modo.

   Modo computación o COMP: pulsar la tecla MODE seguido del número 0 para salir del modo estadístico.

   Una última aclaración. Aunque parezca que los modos NORM y COMP sean iguales, ambos sirven para cosas distintas. El modo NORM es para salir de los modos FIX o SCI y el COMP para hacerlo con el modo SD.

   Otras teclas:

   Con la tecla º ’ ", expresamos un número en forma de grados minutos y segundos en su forma decimal. Con la tecla <--- (shift + º ’ ") expresamos un número decimal en forma de horas, minutos y segundos. Si se pulsan repetidamente, aumenta el número en no sé cual razón. Agradezco aclaración.

   Con la tecla ENG, expresamos en notación científica disminuyendo el número de decimales de tres en tres. Con la tecla <--- (shift + ENG) aumentamos el número de decimales de tres en tres. No veo utilidad en estas dos teclas.

   Con la tecla a(b/c), podemos expresar un número de la forma a¬b¬c en el que a está multiplicando a b/c o para expresarlo en forma decimal cuando ya está introducido. La función d/c sierve para expresarlo en forma de fracción sin que haya un a multiplicando a b/c. Tiene gran utilidad para reducir o simplificar funciones.

   Con la función RND (random) (shift + 0) hacemos que un "reloj interno" de la calculadora comience a contar. La utilidad de este "reloj" lo podemos ver con la tecla RAN# (randomize) (shift + ·)que nos muestra un número comprendido entre 0 y 1 con tres cifras decimales escogido al azar por este reloj. Aunque parezca mentira, esta tecla tiene bastante utilidad, sobre todo para escoger al azar un dato entre otros muchos. Ejemplo: para escoger a alguien de una lista de 26 individuos, pulsamos RND, luego RAN# (con que se haya pulsado RND una vez, es suficiente para todas las veces), multiplicamos por 26 y sumamos 1.

   Con la función x! (factorial) (shift + MR) hallamos la multiplicación sucesiva de los números naturales menores que el insertado a partir del 1.

   La tecla nPr se utiliza para permutaciones, al contraria que nCr que es para combinaciones (Binomio de Newton). Para insertar los elementos de la operación, véase cuatro líneas más abajo; es similar.

   Las funciones R ---> P y P ---> R (shift + + y shift + - respectivamente sirven para pasar de corrdenadas rectangulares a polares y para pasar de coordenadas polares a rectangulares rrrrrespectivamente.

   Encima de los paréntesis se encuentran las funciones X--->Y e Y--->M (shift + los respectivos paréntesis) sirve para hacer sustitución de datos o triple memoria, pero no téngo ni idea de para qué sirve. Por ejemplo, si tienes un dato en la pantalla, pulsas shift y "(" e insertas otro número, podrás alternar un número con otro con esa tecla y, además, alternarlo con el dato que hay memorizado.

   Con la tecla nCr (shift + 2) se halla el binomio de Newton del número insertado o expresiones de la forma (^n_p) (n arriba y p abajo^₎ insertando n, luego la función nCr, luego p y pulsar =.

   Con la tecla % (porcentaje) (shift + igual) hallamos el tanto por cien de un número multiplicándolo por el tanto seguido de la función porcentaje (50% de 200, 200 x 50 %).

   Modo estadístico:

   Al insertar el modo estadístico, se nos abren nuevas posibilidades. Este tipo de claculadoras sólo nos permitirán realizar estadística univariable. Los datos se insertan mostrándolos en la pantalla y pulsando el botón M+, que en modo estadístico se utilizará para insertarlos. Si se inserta el dato en la pantalla, se multiplica por un cierto número de veces y se le da a M+ SIN darle al botón =, se insertará con ese cierto número de veces. La función DEL (delete) (shift + M+) sirve para borrar un dato.

   La tecla n (shift + 6) sirve para saber el número de datos.

   La tecla Σx (shift + 5) sirve para hallar la suma de todos los datos.

   La tecla Σx² (shift + 4) sirve para hallar la suma del cuadrado de los datos.

   La tecla X con un palo arriba (shift + 7) sirve para hallar la media de los datos.

   La tecla δn (shift + 8) sirve para hallar la desviación típica de los datos.

   La tecla δn^-1 (shift + 9) sirve para hallar la cuasidesviación típica.

   La tecla SAC (statistic all clear) (shift + AC) sirve para borrar todos los datos insertados.

     Aclaraciones:

   Para calculadoras de otro fabricante, los botones, su situación y sus funciones pueden variar. Por ejemplo, una calculadora del fabricante Canon, concretamente la F-604, en vez de tener la tecla shift, tiene la tecla de 2^nd fnt o algo así (segunda función). Permite además operar en distintos modos de numeración como el decimal (cotidiano), el hexagesimal (en este puedes utilizar las letras que aparecen en azul), el binario (en ceros y unos) y octagesimal así como pasar un número de una numeración a otra (2^nd fnct + tecla de operación correspondiente: +, -, x ó /).

   Ya está todo.

   Por último, la tecla OFF sirve para apagar la calculadora.

FIN

   Por favor, comenten este post para ver si hay que cambiar algo o no o cómo es la opinión de quien lo ve. No hay que registrarse ni nada parecido. Gracias. El próximo reto será hacer lo mismo pero con la calculadora gráfica HP 50g.

Libros y matemáticas

He aquí una lista de algunos libros que hablan sobre matemáticas, uno son más sencillos, otros menos, otros son sólo novelas:

El diablo de los números. Hans Magnus Enzesberger.

Malditas Matemáticas. Carlo Frabetti. Alfaguara Juvenil.

El incidente del perro a media noche. Mark Haddon. Salamandra.

La fórmula preferida del profesor. Yoko Ogawa.

El tío Petros y la conjetura de Goldbach. Apóstolos Doxiadis.

El enigma de Fermat. Simon Sings.

Gödel. Paradoja y vida. Rebecca Goldstein.

El hombre que calculaba. Malba Tahan. Veron editores.

Juegos matemáticos ocultos en la literatura. Piergiorgio Odifreddi. Octaedro.

Gödel, Escher, Bach. Un eterno y grácil bucle. Douglas R. Hofstadter. Tusquets.

 

Teorema de Pitágoras Vs. Número Áureo

   Tomamos dos triángulos rectángulos semejantes los cuales han de compartir el ángulo recto y que las hipotenusas sean paralelas. Los catatos y la hipotenusa del mayor se llaman a, b y c respectivamente y llos del menor a, d y b respectivamente.

   Calculamos su razón de semejanza:

 a/d = b/a = c/b = r (razón de semejanza)

   Por tanto, debe ser:

      a = d · r

      b = a · r

      c = b · r

   Y tenemos:

 b = a · r = d · r · r = d · r²

 c = b · r = d · r² · r = d · r³

   Así tenemos los valores a, b y c en función de d y r. Al ser rectángulos los triángulos, han de verificar el Teorema de Pitágoras (10 veces demostrado aquí).

      c² = a² + b²

      (d · r³)² = (d · r)² + (d · r²)²

   Ya que d y r son positivos, se puede simplificar dividiéndola por (d · r)² y quedaría así:

      r⁴ = 1 + r²

   Vamos a hallar r resolviéndolo como una ecuación bicuadrada (r² = t)

      t² - 1 - t = 0

      t = (1 ± √5)/2

   Los resultados han de ser positivos, por tanto:

      t = (1 + √5)/2 = Φ

   Por tanto r.....

      r = √Φ

   Esto nos quiere decir que el Teorema de Pitágoras tiene relación con el número aúreo mediante la expresión ya expuesta.

  

10ª demostración del Teorema de Pitágoras o demostración de Einstein

   En el triángulo original, de lados a, b, c, trazamos una altura. Se forman así dos nuevos triángulos rectángulos. El de la izquierda o el menor tiene por hipotenusa a cuya área nombraremos por S_a,, el de la derecha o el mayor tiene por hipotenusa b, y su área será S_b y el triángulo original, con hipotenusa c, tendrá un área S_c.

   Estos tres triángulos son semejantes porque tienen ángulos iguales. En el plano euclídeo, el área de cualquier figura geométrica es proporcional al cuadrado de su dimensión lineal. Podemos escribir por tanto que:

         S_a = K · a²
         S_b = K · b²
         S_c = K · c²

   Donde K es una constante igual en las tres ecuaciones (ya que los triángulos, al ser semejantes, son la misma figura geométrica).

Además, es obvio que

        S_c = S_a + S_b

Sustituyendo aquí las ecuaciones anteriores:

       K · c² = K · b² + K · a²

       c² = a² + b²            Quot erat demostrandum (Q.E.D.)

   Se dice que cuando Einstein tenía once años, su tío Jacob le enseñó la demostración de Euclides del teorema de Pitágoras. Al pequeño Albert le pareció demasiado complicada, y pensando sobre el asunto, dio con esta prueba.

9ª demostración del Teorema de Pitágoras

   Calculamos el área del triangulo ABC de dos formas diferentes.

   Una forma posible es sabiendo que el área de un triangulo es igual al semiperímetro por el radio del circulo inscrito o lo que es lo mismo, la suma de las áreas de los tres triángulos que se forman, siendo la base el lado y la altura el radio. s es el semiperímetro y r es el radio de la circunferencia inscrita.

     Area = s · r = (a + b + c)/2 · r = (a · r)/2 + (b · r)/2 + (c · r)/2

   De la figura se tiene que la hipotenusa c = (a - r) + (b - r) (comprobémoslo como si usásemos un compás, trasladando esa medida a la hipotenusa. Nota importante: el segmento que queda desde el punto de cotre del radio con los catetos a y b hasta el ángulo rectangulo tiene la misma medida que el radio) de donde r = s - c.

     Area = s · r = s · (s - c)

   Sabiendo además que el área del triángulo es también el semiproducto de la base por la altura:

         Área = Bas · alt /2 = a · b / 2.

Igualando las expresiones anteriores y sabiendo que s = (a + b + c)/2 por sustituir lo anterior:

      s · (s - c) = a · b/2

     (a + b + c)/2 · (a + b - c)/2 = ab /2 

     (a + b + c) · (a + b - c) = 2ab

     (a + b)² - c² = 2ab 

      a² + b ² + 2ab - c² = 2ab;

      a² + b² = c²              Quot erat demostrandum (Q.E.D.)

8ª demostración del Teorema de Pitágoras o demostración de Vieta

   Y vamos ahora con la octava demostración de 367 del archifamoso Teorema de Pitágoras. Para ello, hemos de recordar la definición de potencia de un punto que ya explicamos en la sexta demostración, pero esta vez, el punto fijo está dentro de la circunferencuia y se llama C.

   Expresamos las siguientes igualdades:

   DC = DA + AC = AB + AC

   CE = AE - AC = AB - AC

   ya que AE = AB por ser este el radio de la circunferencia.

   Usamos la definición de potencia de un punto, que expresamos así:

   DC · CE = CB²              (1)

   DC · CE = (AB + AC)·(AB - AC)

   DC · CE = AB² - AC²           (2)

   Igualamos (1) y (2):

   CB² = AB² - AC²  

   AB² = CB² + AC²     Quod erat demostrandum (Q.E.D.)

 

7ª demostración del Teorema de Pitágoras (de 367) o demostración de Garfield

   Basta con calcular el área de la figura de dos formas distintas:

   La figura (completa) es un trapecio de bases a, b y altura a+b, que según la fórmula del área del trapecio [(bas mayor + bas menor) · altura / 2] podemos expresarlo así:

   Área = (a+b)·(a+b)/2 = a²/2 + b²/2 + ab

   Tres triángulos rectángulos:

   Área = ab/2 + ab/2 + c²/2 = ab +c²/2

Igualando estas dos expresiones y simplificando:

     a² /2 + b² /2 = c²/2

  Esto es:

      a² + b² = c²        Quod erat demostrandum (Q.E.D.) 

6ª demostración del Teorema de Pitágoras

   Para esta demostración hemos de utilizar el concepto de potencia de un punto, muy utilizado en dibujo técnico. Explicamos el concepto de potencia de un punto.

   Sean una circunferecia C y un punto fijo P (que en este caso, para no complicar la cosa, será exterior a la circunferencia), la potencia del punto P respecto a C es el producto de las distancias a cualquier par de puntos de la circunferencia alineados con P. Para entender mejor esto, vamos a demostrarlo on el Teorema de Tales, que postula que dadas dos rectas secantes seccionadas por rectas paraleleas, los segmentos entre rectas son proporcionales. Entonces podemos expresar según la imagen de abajo:

           PA/PB = PA’/PB’   

           ó PA/PA’ = PB/PB’

           ó PA/PB’ = PB/PA’

   Con lo que podemos escribirlo así:

          PA · PA’ = PB · PB’

  Y nos llevamos esta relación al dibujo de arriba, podemos escribir:

             AD · AE =  AC²

    Como BE = BC = BD= a y AD = c - a; AE = c + a; AC = b entonces sustitutímos:

   (c - a)·(c + a) = b²

   Según las igualdades notables aquñi demostradas, operamos:

   c ² - a² = b²

   Que podemos ponerlo así:

      c² = b² + a²               Quod erat demostrandum (Q.E.D.)

Demuestra la siguiente igualdad:

   Pues sí, pikachu está metido también en el mundo de las matemáticas. Para que veais la gracia del asunto, os pondré la solución hoy mismo.

      SOLUCIÓN:

   La expresión de la derecha se puede escribir de la siguiente manera:

                                    ∂[ π · K · ch(u) ] 

                               ------------------------------

                                            ∂(u)

   Donde K y π son constantes, ch es una forma de expresar el coseno hiperbólico (en el que en vez de hacerse con una circunferencia, se hace con una hipérbola) y u es la variable con respecto a la que hemos de derivar parcialemnte (∂ significa derivada parcial).

   Si recordamos la definición de la derivada y las reglas de derivación, pasaría lo siguiente. K y π, al ser constantes que multiplican a una variable [ch(u)], no les pasan nada. Con respecto a ch(u), calculamos su derivada. La derivada del coseno hiperbólico es el seno hiperbólico, que se representa como sinh o sh(u). Con todos estos datos, podemos sustitutír y nos queda lo siguiente:

                           ∂[ π · K · ch(u) ] 

                               ------------------------------   =   π · K · sh(u)

                                            ∂(u)

    Por tanto, la derivada parcial de pikachu es π · K · sh(u), que se puede leer como pikashu, o sea, el pikachu andaluz. Por cierto, el número pi es tan importante que pikachu no deja de recordarnoslo todos los días, XD.

   Obtenido de gaussianos.com

Pi Pi mathematical Pi

Antoni Chan y Ken Ferrier han hecho una versión del clásico de Don McLean "American Pie". El título es Mathematical Pi, y ahí dejo el vídeo y la letra... 

 

INTRO:

A long, long time ago

Long before the Super Bowl and things like lemonade

The Hellenic Republic was full of smarts

And a question resting on the Grecian hearts

Was "What is the circumference of a circle?" 

But they were set on rational numbers

And it ranks among their biggest blunders

They worked on it for years 

And confirmed one of their biggest fears

I can’t be certain if they cried when irrationality was realized 

But something deep within them died 

the day they discovered pi.

They were thinking

CHORUS:

Pi, pi, mathematical pi

3 point 14 15 92

65 35 89 7

932384 62

6433832 7 (not rounded)

VERSE:

Well this kind of pie is different than most

It hasn’t got berries, ain’t spread on toast

And that’s how it’s always been

We keep extending its decimal places

Pushing our computers through their paces

But we’ll never reach the end

So why the fascination with

A number whose end is just a myth

Whence the adulation

For mental masturbation

It might have something to do with the stars

To calculate distances from afar 

But that’s just a guess ’bout the way things are

Regarding the precision of pi

I am pondering

CHORUS

VERSE:

Now I feel that I should mention

Pi is applicable in any dimension

At least as far as I know

If there were no Pi we’d be missing things

Like marbles and mugs and balls of string

And sports such as soccer and curling

The orbs in their celestial paths

Navigate along elliptical graphs

Ellipses have pi in them too

Just one side of them has grew

You can see pi in most everything

It’s in Cornell’s Electron Storage Ring

And also in slinkies and other springs

And that’s why it’s important to know pi

You should memorize

CHORUS

OUTRO:

Once one night I had a dream 

That pi was gone and I had to scream

Cause all pi things had disappeared  (pause)

Can you imagine a world like that?

Circles aren’t round and spheres are flat

It’s the culmination of everything we’ve feared

’Twas a nightmare of epic proportions

One that gave me brain contortions

Oh wait!  I mean contusions

They put me in some institutions

But then I escaped and now I’m free

To sing of the virtue of pi

CHORUS

Chiste malo

¿Qué animal tiene entre tres y cuatro ojos?

El piojo

La cuadratura del círculo

Desde tiempos remotos, los matemáticos intentaron averiguar cómo transformar un cuadrado en un círculo de forma que tengan la misma área. Esto viene dado por la expresión:

         A_cuadrado = A_círculo

          L² = π · r²

Esto de forma aritmética es muy fácil de hallar (le pinchamos a la calculadora y listo) ya que teniendo el radio del círculo puedes calcular su área, luego hallas la raíz de la misma para obtener el lado del cuadrado equivalente. Puede hacerse conociendo el lado del cuadrado y haciendo el mismo proceso a la inversa.

¿Cuál es el problema? Es imposible hallar pi geométricamente. Entonces nos hemos de valer de otro método para trasformar el círculo en cuadrado. La expresión de las áreas puede ponerse de la siguiente manera:

       L² = πr · r

Esta expresión se llama media proporcional (para aquellos que tengan como asignatura el dibujo técnico sabrán lo que es). Como no podemos hallar pi, recurrimos a otra manera más aproximada.

Comienzo explicando el concepto de media proporcional. Si exponemos la relación: un segmento a es a otro desconocido como ese mismo segmento desconocido es a otro b, que se puede expresar de la siguiente manera:

                  a                  x

            ------------  = -----------

                  x                   b

Producto de extremos es igual a producto de medios:

                 x² = a · b

Si nos revisamos los teoremas del cateto y de la hipotenusa ya demostrados en la 2ª demostración del Teorema de Pitágoras (de 367 conocidas) podemos hallar el segmento media proporcional de otros dos. Recordamos las expresiones:

            b² = a · m      c² = a · n

                      h² = m · n

Si conseguimos que m valga πr y n valga r y los colocamos en el mismo segmento una a continuación del otro podremos hallar el segmento media proporcional que será el lado del cuadrado equivalente. Para ello, hallamos el punto medio del segmento total y desde ese punto trazamos una circunferencia que pase por los extremos. Finalmente trazamos una perpendicular al segmento total por el punto en el que se juntan los otras dos segmentos (πr y r) y el segmento resultante comprendido entre el punto de unión de los dos segmentos y el punto de corte con la circunferencia se llama media proporcional que vale en este caso el lado del cuadrado.

Os preguntaréis quizá por qué el lado está como L y no como L². La explicación es sencilla: aunque la relación entre el producto de m y n sea el cuadrado de la altura, no tiene nada que ver con la representación. si nos fijamos bien, podemos dibujar un triángulo rectángulo como el de la 2ª demostración del TP. También os preguntaréis: ¿Por qué rectángulo? ¿No puede ser otro cualquiera? Y yo os digo: NO Y NO. Sólo puede rectángulo dado el concepto de arco capaz.

Y, para los que no lo sepan, el arco capaz es el lugar geométrico (donde el lugar geométrico es el conjunto de puntos que tienen la misma propiedad) de los puntos del plano desde los cuales se contempla a un segmento desde la misma amplitud (ángulo). Ya hablaremos del arco capaz más adelante, pero ahora centrémonos en la demostración.

Ya la única dificultad que queda por resolver es la obtención de pi de forma geométrica. Como podéis ver en el dibujo, hay un triángulo rectángulo cuyos catetos son uno 2r (donde r es el radio de la circunferencia a transformar) y el otro es la diferencia entre 3r y el trozo que he señalado en la figura y la hipotenusa es πr. Hemos de comprobar que pi es realmente pi.

Según el TP (tantas veces demostrado) el cuadrado de esa hipotenusa ha de ser igual a la suma de esos dos catetos, con lo que empezamos la demostración matemática igualando ambas expresiones:

   π²r² = (2r)² + [3r - trozo]²

Donde el trozo es, según la trigonometría:

   Tan  = (cateto opuesto)/(cateto contiguo)

   Tan  = (trozo)/(radio de la circunferencia)

   Trozo = (Tan Â) · (radio de la circunferencia)

Si  vale 30º como se indica en la figura:

   Trozo = [(3)^(1/2)/3] · r

Y seguimos donde lo dejamos:

   π²r² = 4r² + (3r - [(3)^(1/2)/3] · r)²

   π²r² = 4r² + (9r² + (1/3)r² - 2 · (3)^(1/2) · r²)

   π²r² = ( 4 + 9 + (1/3) - 2 · (3)^(1/2) ) · r²

La r al cuadrado se van de paseo cogidos de la mano.

   π² = ( 40 - 6 · (3)^(1/2) )/3

   π = 3.14153333807

   π = 3.14159265358

Como podemos ver, el valor de pi es bastante aproximado al real con una aproximación de más del 99,99%, con lo que podemos dar a este método de transformación como correcto.

Pero aún podemos ir más allá de la cuadratura de círculo. Una pregunta que fue también formulada por muchos matemáticos muchos años atrás, fue la relación entre la longitud de la circunferencia y el radio.

Antes de que se conociese el valor de pi, los matemáticos de antaño recurrieron a un dato algo aproximado siguiendo una demostración que hoy se conoce como la rectificación de un segmento curvo.

Como el potencial del blog no nos da para poner dos imágenes en el encabezado ni para siquiera ver alguna durante todo el escrito, al menos imaginaros lo siguiente:

Dada una circunferencia de diámetro d, dividimos su diámetro en siete partes iguales (con el teorema de Tales o a ojo, como queráis siempre que dado un concepto abstracto se tenga una idea perfecta y más acorde con el mundo inteligible o de las ideas (¡maldito Platón!)). La medida del diámetro la prolongamos dos veces hacia la derecha y, hacia la izquierda, prolongamos la séptima parte del diámetro ya dividido antes.

Si la fórmula de la longitud de la circunferencia es:

   L = k · d 

Donde la k es una constante que pasará a ser pi.

   Postulamos que la longitud de la circunferencia es todo el segmento que hemos dibujado:

   L = (1/7) · d + 3 · d

   L = (22/7)d

Si igualamos:

   (22/7)d = k · d

   k = 22/7

   22/7 = 3.142857142

   pi = 3.14159265358

Con lo que tenemos una aproximación del 99,96% del valor de pi, por tanto, podemos dar este método como válido.

En definitiva, podemos ver que las Matemáticas sirven de apoyo a otras disciplinas o ciencias, como la Física, la Química, La Biología en menor parte, la Estadística, el Dibujo Técnico en este caso entre otras... Según todo esto podemos considerar a las Matemáticas o la Matemática como LA REINA DE LAS CIENCIAS ya que sirve de apoyo o base para todas las demás.

Este artículo no podría haber sido posible sin la enseñanza del catedrático Rafael De Heredia, profesor de Dibujo Técnico. 

5ª demostración del Teorema de Pitágoras (de 367 conocidas)

Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados iguales:

• Uno de ellos –centro- está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
• El otro cuadrado –derecha- lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris (c²) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul (b² + a²), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

Quizá esta forma no quede muy clara, o incluso inductiva, por lo que recurriremos a un razonamiento deductivo. Fijémonos pues en la figura del centro. Si el valor del lado del cuadrado amarillo es a y el lado del cuadrado azul es b, el área del cuadrado total es, según la Igualdad Notable I que demostramos anteriormente de forma gráfica:

   (a + b)²  = a² + b² + 2 · a · b  

Y si nos fijamos en la figura de la izquierda, el área total será el área de los cuadro cuadrados más la del cuadrado gris de lado c, que se puede expresar de esta manera:

   (a + b)²  = c² + 4 (a · b)/2

Donde (a · b)/2 es el área de uno de los triángulos. Si igualamos las expresiones nos queda:

   a² + b² + 2 · a · b = c² + 4 (a · b)/2

   a² + b² = c²

                                                                                                                                     ^Q.E.D

Bomba en un avión

Las Matemáticas pueden llegar a veces a ser exasperantes, fijaos si no en este razonamiento: "Se sabe que la probabilidad de que haya una persona en un avión que lleve una bomba dentro de su bolso es bastante pequeña; y, por supuesto, la probabilidad de que haya dos personas que lleven una bomba dentro de su bolso en el mismo avión es bajísima, casi despreciable, por eso cuando viajo en avión siempre llevo una bomba en mi bolso". 

Perfecto...