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Matemáticas Áureas

Divagaciones

Libros y matemáticas

He aquí una lista de algunos libros que hablan sobre matemáticas, uno son más sencillos, otros menos, otros son sólo novelas:

El diablo de los números. Hans Magnus Enzesberger.

Malditas Matemáticas. Carlo Frabetti. Alfaguara Juvenil.

El incidente del perro a media noche. Mark Haddon. Salamandra.

La fórmula preferida del profesor. Yoko Ogawa.

El tío Petros y la conjetura de Goldbach. Apóstolos Doxiadis.

El enigma de Fermat. Simon Sings.

Gödel. Paradoja y vida. Rebecca Goldstein.

El hombre que calculaba. Malba Tahan. Veron editores.

Juegos matemáticos ocultos en la literatura. Piergiorgio Odifreddi. Octaedro.

Gödel, Escher, Bach. Un eterno y grácil bucle. Douglas R. Hofstadter. Tusquets.

 

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Teorema de Pitágoras Vs. Número Áureo

Teorema de Pitágoras Vs. Número Áureo

   Tomamos dos triángulos rectángulos semejantes los cuales han de compartir el ángulo recto y que las hipotenusas sean paralelas. Los catatos y la hipotenusa del mayor se llaman a, b y c respectivamente y llos del menor a, d y b respectivamente.

   Calculamos su razón de semejanza:

 a/d = b/a = c/b = r (razón de semejanza)

   Por tanto, debe ser:

      a = d · r

      b = a · r

      c = b · r

   Y tenemos:

 b = a · r = d · r · r = d · r2

 c = b · r = d · r2 · r = d · r3

   Así tenemos los valores a, b y c en función de d y r. Al ser rectángulos los triángulos, han de verificar el Teorema de Pitágoras (10 veces demostrado aquí).

      c2 = a2 + b2

      (d · r3)2 = (d · r)2 + (d · r2)2

   Ya que d y r son positivos, se puede simplificar dividiéndola por (d · r)2 y quedaría así:

      r4 = 1 + r2

   Vamos a hallar r resolviéndolo como una ecuación bicuadrada (r2 = t)

      t2 - 1 - t = 0

      t = (1 ± √5)/2

   Los resultados han de ser positivos, por tanto:

      t = (1 + √5)/2 = Φ

   Por tanto r.....

      r = √Φ

   Esto nos quiere decir que el Teorema de Pitágoras tiene relación con el número aúreo mediante la expresión ya expuesta.

  

La cuadratura del círculo

La cuadratura del círculo

Desde tiempos remotos, los matemáticos intentaron averiguar cómo transformar un cuadrado en un círculo de forma que tengan la misma área. Esto viene dado por la expresión:

         Acuadrado = Acírculo

          L2 = π · r2

Esto de forma aritmética es muy fácil de hallar (le pinchamos a la calculadora y listo) ya que teniendo el radio del círculo puedes calcular su área, luego hallas la raíz de la misma para obtener el lado del cuadrado equivalente. Puede hacerse conociendo el lado del cuadrado y haciendo el mismo proceso a la inversa.

¿Cuál es el problema? Es imposible hallar pi geométricamente. Entonces nos hemos de valer de otro método para trasformar el círculo en cuadrado. La expresión de las áreas puede ponerse de la siguiente manera:

       L2 = πr · r

Esta expresión se llama media proporcional (para aquellos que tengan como asignatura el dibujo técnico sabrán lo que es). Como no podemos hallar pi, recurrimos a otra manera más aproximada.

Comienzo explicando el concepto de media proporcional. Si exponemos la relación: un segmento a es a otro desconocido como ese mismo segmento desconocido es a otro b, que se puede expresar de la siguiente manera:

                  a                  x

            ------------  = -----------

                  x                   b

Producto de extremos es igual a producto de medios:

                 x2 = a · b

Si nos revisamos los teoremas del cateto y de la hipotenusa ya demostrados en la 2ª demostración del Teorema de Pitágoras (de 367 conocidas) podemos hallar el segmento media proporcional de otros dos. Recordamos las expresiones:

            b2 = a · m      c2 = a · n

                      h2 = m · n

Si conseguimos que m valga πr y n valga r y los colocamos en el mismo segmento una a continuación del otro podremos hallar el segmento media proporcional que será el lado del cuadrado equivalente. Para ello, hallamos el punto medio del segmento total y desde ese punto trazamos una circunferencia que pase por los extremos. Finalmente trazamos una perpendicular al segmento total por el punto en el que se juntan los otras dos segmentos (πr y r) y el segmento resultante comprendido entre el punto de unión de los dos segmentos y el punto de corte con la circunferencia se llama media proporcional que vale en este caso el lado del cuadrado.

Os preguntaréis quizá por qué el lado está como L y no como L2. La explicación es sencilla: aunque la relación entre el producto de m y n sea el cuadrado de la altura, no tiene nada que ver con la representación. si nos fijamos bien, podemos dibujar un triángulo rectángulo como el de la 2ª demostración del TP. También os preguntaréis: ¿Por qué rectángulo? ¿No puede ser otro cualquiera? Y yo os digo: NO Y NO. Sólo puede rectángulo dado el concepto de arco capaz.

Y, para los que no lo sepan, el arco capaz es el lugar geométrico (donde el lugar geométrico es el conjunto de puntos que tienen la misma propiedad) de los puntos del plano desde los cuales se contempla a un segmento desde la misma amplitud (ángulo). Ya hablaremos del arco capaz más adelante, pero ahora centrémonos en la demostración.

Ya la única dificultad que queda por resolver es la obtención de pi de forma geométrica. Como podéis ver en el dibujo, hay un triángulo rectángulo cuyos catetos son uno 2r (donde r es el radio de la circunferencia a transformar) y el otro es la diferencia entre 3r y el trozo que he señalado en la figura y la hipotenusa es πr. Hemos de comprobar que pi es realmente pi.

Según el TP (tantas veces demostrado) el cuadrado de esa hipotenusa ha de ser igual a la suma de esos dos catetos, con lo que empezamos la demostración matemática igualando ambas expresiones:

   π2r2 = (2r)2 + [3r - trozo]2

Donde el trozo es, según la trigonometría:

   Tan  = (cateto opuesto)/(cateto contiguo)

   Tan  = (trozo)/(radio de la circunferencia)

   Trozo = (Tan Â) · (radio de la circunferencia)

Si  vale 30º como se indica en la figura:

   Trozo = [(3)(1/2)/3] · r

Y seguimos donde lo dejamos:

   π2r2 = 4r2 + (3r - [(3)(1/2)/3] · r)2

   π2r2 = 4r2 + (9r2 + (1/3)r2 - 2 · (3)(1/2) · r2)

   π2r2 = ( 4 + 9 + (1/3) - 2 · (3)(1/2) ) · r2

La r al cuadrado se van de paseo cogidos de la mano.

   π2 = ( 40 - 6 · (3)(1/2) )/3

   π = 3.14153333807

   π = 3.14159265358

Como podemos ver, el valor de pi es bastante aproximado al real con una aproximación de más del 99,99%, con lo que podemos dar a este método de transformación como correcto.

Pero aún podemos ir más allá de la cuadratura de círculo. Una pregunta que fue también formulada por muchos matemáticos muchos años atrás, fue la relación entre la longitud de la circunferencia y el radio.

Antes de que se conociese el valor de pi, los matemáticos de antaño recurrieron a un dato algo aproximado siguiendo una demostración que hoy se conoce como la rectificación de un segmento curvo.

Como el potencial del blog no nos da para poner dos imágenes en el encabezado ni para siquiera ver alguna durante todo el escrito, al menos imaginaros lo siguiente:

Dada una circunferencia de diámetro d, dividimos su diámetro en siete partes iguales (con el teorema de Tales o a ojo, como queráis siempre que dado un concepto abstracto se tenga una idea perfecta y más acorde con el mundo inteligible o de las ideas (¡maldito Platón!)). La medida del diámetro la prolongamos dos veces hacia la derecha y, hacia la izquierda, prolongamos la séptima parte del diámetro ya dividido antes.

Si la fórmula de la longitud de la circunferencia es:

   L = k · d 

Donde la k es una constante que pasará a ser pi.

   Postulamos que la longitud de la circunferencia es todo el segmento que hemos dibujado:

   L = (1/7) · d + 3 · d

   L = (22/7)d

Si igualamos:

   (22/7)d = k · d

   k = 22/7

   22/7 = 3.142857142

   pi = 3.14159265358

Con lo que tenemos una aproximación del 99,96% del valor de pi, por tanto, podemos dar este método como válido.

En definitiva, podemos ver que las Matemáticas sirven de apoyo a otras disciplinas o ciencias, como la Física, la Química, La Biología en menor parte, la Estadística, el Dibujo Técnico en este caso entre otras... Según todo esto podemos considerar a las Matemáticas o la Matemática como LA REINA DE LAS CIENCIAS ya que sirve de apoyo o base para todas las demás.

Este artículo no podría haber sido posible sin la enseñanza del catedrático Rafael De Heredia, profesor de Dibujo Técnico. 

Los axiomas de la aritmética

Si algo bueno tienen las matemáticas es que TODO se puede demostrar (al menos todo lo que vemos nosotros; al menos hasta que llegó Godel). Pues bien hay 7 premisas básicas que no pueden demostrarse, no pueden reducirse más. Estos son los siete axiomas sobre los que se asienta la aritmética; los siete dogmas matemáticos:

1) Para cualesquiera números m y n

                     m+n = n+m          y            mn = nm

2) Para cualesquiera números m, n y k

               (m+n)+k = m+(n+k)          y           (mn)k = m(nk)

3) Para cualesquiera números m, n y k

                     m(n+k) = mn + mk

 

(Andaaaa! pero si resulta que las propiedades distributiva, asociativa y conmutativa que llevo dando desde 3º de primaria son tres de los axiomas de la aritmética!! pero qué cosas sé....! )

4) Existe un número 0 que tiene la propiedad de que, para cualquier número n:

                     n + 0 = n

5) Existe un número 1 que tiene la propiedad de que, para cualquier número n:

                     n x 1 = n

6) Para cada número n existe otro número k tal que

                    n + k = 0

7) Para cualesquiera números m, n y k

si K ≠ 0   y    kn = km,     entonces    m = n

 

 

A partir de estos axiomas se pueden demostrar otras reglas. Por ejemplo, aplicando rigurosamente estos axiomas y sin asumir nada más, se puede demostrar la aprentemente obvia regla de que:

        si m+k = n+k   entonces m=n

Para empezar decimos que:

             m+k = n+k

Entonces, según el axioma 6, supongamos que l es un número tal que k + l = 0, así que:

              (m+k) + l = (n + k) + l

Entonces, por el axioma 2,

                        m + (k + l) = n + (k + l)

Recordando que k + l = 0, sabemos que

                         m + 0 = n + 0

Se aplica el axioma 4 y podemos declarar que hemos establecido que

                             m = n

 

El problema del ajedrez

Un rey aficionado al juego del ajedrez, quiso premiar a su inventor. Cuando se encontraron, éste propuso al rey que si ganaba, haría lo siguiente: En la primera casilla del tablero pondría un grano de arroz. En la segunda dos. En la tercera cuatro, luego ocho y así sucesivamente hasta completar las 64 casillas del tablero. El rey aceptó, perdío la partida y, claro, la apuesta.

   No había grano de arroz en el reino lo suficiente para cumplir la apuesta. ¿Cuántos granos de arroz había?

   La respuesta es simple. Todo esto se puede expresar como una sucesión geométrica cuya expresión viene dada por:

                 [an = a1 · rn - 1]

                 an = 2n - 1

   Claculamos el término de la sucesión nº 64 y sale:

               a64 = 263 = 9.22 · 1018 granos de arroz

   Pero la suma de todos los granos de arroz no es esa. Si aplicamos la fórmula de la suma de los n términos de una progresión geométrica:

             Sn = (an · r  -  a1) /(r - 1)

  S64 = (9.22 · 1018 · 2   -   1)/(2 - 1) = 1.844 · 1019 granos de arroz

   Ahora que lo pienso... Pobre del que tenía que contarlos. Jajajajajaja.

2 = Raíz de 2

2 = Raíz de 2

Para que vean lo que queremos decir, vamos a hacer lo siguiente:

Cogemos un cuadrado de lado 1u y trazamos su diagonal, que según el Teorema de Pitágoras (tantas veces demostrado) el valor de la diagonal es:

                    d2  = l2 + l2

                    d2 = 1 + 1

                    d = (2)(1/2)  = Raíz de 2        

Si en el punto medio de la diagonal trazamos dos rectas paralelas a los lados del cuadrado, se forma una especie de escalera de dos escalones. Si sumamos la altura de los dos escalones y su longitud, obtenemos el resultado de 2u.

Si en los sucesivos puntos medios hacemos más escalones, la suma de las longitudes y las alturas seguirá valiendo 2u

Si seguimos haciendo infinitos escalones, éstos se terminarán por confundir en la diagonal, por tanto:

                                   2 = Raíz de 2

 ¿Qué ha pasado? (Mwajajajaja)

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Igualdades notables (III)

Igualdades notables (III)

(a+b) · (a-b) = a2 - b2

(a+b) · (a-b) es igual al rectágulo verde del dibujo, que podemos obtener si al rectángulo más grande (a(a+b)) le restamos el rectángulo rojo (b(a+b)). Si desarrollamos esto queda:

(a+b) · (a-b) = a(a+b) - b(a+b) = a2 + ab -ab - b2 = a2 - b2

 

                                                                                                                                                                                                                    C.Q.D.

(como queríamos demostrar)

By Artemio.

Igualdades notables (II)

Igualdades notables (II)

(a-b)2= a2 + b 2 - 2ab.

(a-b)2 corresponde al cuadrado mediano. El área de este cuadrado es igual al cuadrado grande (a2) menos el rectángulo rojo (ab) y  menos el rectángulo blanco ((a-b)b). Esto queda así: (a-b)2= a2 - ab - b(a-b) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2

Igualdades notables (I)

Igualdades notables (I)

¿Quién no ha tenido que aprenderse nunca que (a+b)2 = a2+b2+2ab? Si haces la operación por "la cuenta la vieja" se ve que efectivamente es así, pero eso tampoco ayuda mucho a la hora de comprender el por qué.... He aquí la explicación que me hizo verlo claro:

(a+b)2 corresponde al área del cuadrado grande; que es igual a la suma de las áreas del cuadrado mediano (a2), más el cuadrado pequeño (b2), más los dos rectángulos (2 ab).

 

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El número uno

Bueno, escribo este post porque ésta fue la primera de las curiosidades matemáticas que captó mi atención, la leí en un libro (Malditas matemáticas, creo que se llamaba) cuando tenía unos diez-doce años, la verdad es que no me acuerdo bien. Es curioso, empecé a leerme ese libro porque yo en aquella época odiaba las mates, quién me iba a decir que acabaría escribiendo esto... ^^

¿Qué tiene de especial el número uno?

El número 1 marcó el principio, es el número más simple, el más primitivo, la base de todos los demás números. Sumando 1+1+1+1... podemos obtener cualquier número natural, eso es evidente, pero además, a partir del número uno obtenemos todas las cifras de nuestro sistema numérico (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0); y no sólo puede hacerse sumando, sino que podemos obtenerlas también al multiplicar:

1 x 1 = 1

11 x 11 = 121

111 x 111 = 12321

1111 x 1111 = 1234321

11111 x 11111 = 123454321

111111 x 111111 = 12345654321

...

Es fácil ver la relación entre los factores y el producto: el número de unos que contiene cada factor coincide con la cifra mayor del producto; éste se forma empezando a "contar" por el uno hasta llegar a la cifra indicada por los factores y luego voviendo otra vez a él contando hacia atrás. Hasta el nueve la multiplicación funciona, el patrón se repite. ¿Alguien que pueda decir qué ocurre cuando los factores los forman 10 unos? ¿Cuál será el resultado?

1111111111 x 1111111111 = 12345678900987654321

Es ahí donde aparece el cero. Y lo hace de forma peculiar. Siguiendo la lógica anterior el resultado debería ser 1234567890987654321, pero aparecen dos ceros en lugar de uno. ¿Por qué? Pues bien, a partir de ahí el patrón se latera todavía más, vemaos lo que pasa cuando multiplicamos 11 unos por 11 unos:

11: 11111111111 x 11111111111 = 123456790120987654321

Aquí falta el ocho en la parte ascendente del producto, y aparecen un 1 y un 2 entre los ceros centrales. Con " 12 unos por 12 unos" pasa lo siguiente:

12: 111111111111 x 111111111111 = 1234567901232098765432

Vuelve a faltar el 8 (y faltará en los próximos resultados) pero la progresión del 1-2 central crece hasta el 3 y decrece, saltándose el 1.

13: 1111111111111 x 1111111111111 = 1234567901234320987654321

Como dijimos antes, el ocho no está y la progresión central se alarga un número más, hasta el 4, pero sin llegar al uno.

Podeis imaginar qué pasará cuando multipliquemos "14 unos po 14 unos". La pregunta que toca hacerse es..¿por qué desaparecen el 8 y el 1 central? Todas las ideas serán bienvenidas en los comentarios

El número áureo

   Aqui presentamos un vídeo en el que mostramos información acerca del número que da nombre a este blog. El número áureo. A primera vista parece un número que tiene poca importancia o que no tiene nada de especial. Con este video veremos que no es así. Al contrario, es un número que condiciona hasta lo más extravagante, peculiar y cotidiano y que junto al número e y pi, rigen toda la naturaleza.

  

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