Teorema de Pitágoras Vs. Número Áureo

   Tomamos dos triángulos rectángulos semejantes los cuales han de compartir el ángulo recto y que las hipotenusas sean paralelas. Los catatos y la hipotenusa del mayor se llaman a, b y c respectivamente y llos del menor a, d y b respectivamente.

   Calculamos su razón de semejanza:

 a/d = b/a = c/b = r (razón de semejanza)

   Por tanto, debe ser:

      a = d · r

      b = a · r

      c = b · r

   Y tenemos:

 b = a · r = d · r · r = d · r²

 c = b · r = d · r² · r = d · r³

   Así tenemos los valores a, b y c en función de d y r. Al ser rectángulos los triángulos, han de verificar el Teorema de Pitágoras (10 veces demostrado aquí).

      c² = a² + b²

      (d · r³)² = (d · r)² + (d · r²)²

   Ya que d y r son positivos, se puede simplificar dividiéndola por (d · r)² y quedaría así:

      r⁴ = 1 + r²

   Vamos a hallar r resolviéndolo como una ecuación bicuadrada (r² = t)

      t² - 1 - t = 0

      t = (1 ± √5)/2

   Los resultados han de ser positivos, por tanto:

      t = (1 + √5)/2 = Φ

   Por tanto r.....

      r = √Φ

   Esto nos quiere decir que el Teorema de Pitágoras tiene relación con el número aúreo mediante la expresión ya expuesta.