Los Jonas Brothers se pelean (teoría de juegos)

Un trielo es similar a un duelo, con la diferencia de que hay tres participantes en lugar de dos. Una mañana, Kevin, Joe y Nick (sí, los Jonas Brothers) deciden acabar un conflicto (quién ha cogido mi anillo de castidad?, has sido tú Nick?, No yo no he sido, Eres idiota, solucionemos esto como hombres que somos...) participando en un trielo con pistolas hasta que sólo quede uno de ellos. Kevin es el peor tirador porque su promedio de aciertos es de uno de cada tres disparos. Joe es algo mejor porque su media está en dos aciertos de cada tres intentos. Nick es el mejor, siempre hace diana. Para hacer el trielo mñas justo dejan que Kevin dispare primero, luego podría tirar Joe (si sigue vivo) y detrás de él Nick (si no está muerto para entonces), y vuelta a empezar hasta que sólo quede uno de ellos. La duda es: ¿hacia dónde debería derigir Kevin su primer tiro?

 

 

 

Solución

Examinemos sus opciones. Primero Kevin podría a puntar a Joe. Si acierta, el siguiente disparo lo efectuará Nick. A Nick sólo le queda un oponente, Kevin, y ya que Nick nunca falla ningún tiro, Kevin está muerto.

Una opción mejor es apuntar a Nick. Si tiene éxito entonces el siguiente disparo corresponde a Joe, que sólo da en el blanco 2 de cada 3 veces, por lo que existe la posibilidad de que Kevin sobreviva para disparar otra vez él a Joe y quizás, ganar el trielo.

Parece que la segunda opción es la que debería seguir Kevin. Sin embargo existe una tercera opción aún mejor. Kevin podría apuntar al aire. el próximo disparo le corresponde a Joe, y él apuntará a Nick, puesto que es el oponente más peligroso. Si Nick sobrevive apuntará a Joe, puesto que es su más peligroso oponente. Apuntando al aire Kevin está permitiendo que Joe elimine a Nick o viceversa.

Ésta es la mejor estrategia de Kevin. al final, Joe o Nick morirán y entonces Kevin disparará al superviviente. evin ha manipulado la situación de manera que, en lugar de tener el primer disparo en un trielo, tiene el primer disparo en un duelo.

Los axiomas de la aritmética

Si algo bueno tienen las matemáticas es que TODO se puede demostrar (al menos todo lo que vemos nosotros; al menos hasta que llegó Godel). Pues bien hay 7 premisas básicas que no pueden demostrarse, no pueden reducirse más. Estos son los siete axiomas sobre los que se asienta la aritmética; los siete dogmas matemáticos:

1) Para cualesquiera números m y n

                     m+n = n+m          y            mn = nm

2) Para cualesquiera números m, n y k

               (m+n)+k = m+(n+k)          y           (mn)k = m(nk)

3) Para cualesquiera números m, n y k

                     m(n+k) = mn + mk

 

(Andaaaa! pero si resulta que las propiedades distributiva, asociativa y conmutativa que llevo dando desde 3º de primaria son tres de los axiomas de la aritmética!! pero qué cosas sé....! )

4) Existe un número 0 que tiene la propiedad de que, para cualquier número n:

                     n + 0 = n

5) Existe un número 1 que tiene la propiedad de que, para cualquier número n:

                     n x 1 = n

6) Para cada número n existe otro número k tal que

                    n + k = 0

7) Para cualesquiera números m, n y k

si K ≠ 0   y    kn = km,     entonces    m = n

 

 

A partir de estos axiomas se pueden demostrar otras reglas. Por ejemplo, aplicando rigurosamente estos axiomas y sin asumir nada más, se puede demostrar la aprentemente obvia regla de que:

        si m+k = n+k   entonces m=n

Para empezar decimos que:

             m+k = n+k

Entonces, según el axioma 6, supongamos que l es un número tal que k + l = 0, así que:

              (m+k) + l = (n + k) + l

Entonces, por el axioma 2,

                        m + (k + l) = n + (k + l)

Recordando que k + l = 0, sabemos que

                         m + 0 = n + 0

Se aplica el axioma 4 y podemos declarar que hemos establecido que

                             m = n

 

Demostración de Euclides de que √2 es irracional (Demostración sagrada nº 2)

El objetivo de Euclides era probar que √2 no se puede escribir como una fracción. Debido a que usó una reducción al absurdo el primer paso es suponer que lo contrario es cierto, es decir, que √2 se podría escribir como alguna fracción desconocida. Esta hipotética fracción se representa p/q, donde p y q son dos números enteros.

antes de embarcarnos en la demostración en sí, todo lo que se requiere es una comprensión básica de algunas propiedades de las fracciones y los números pares.

1) Si se toma cualquier número y se multiplica por 2, el nuevo número será par.

2) Si se sabe que el cuadrado de un número es par, entonces el número mismo debe ser también par.

3) Las fracciones se pueden simplaficar: 16/24 es lo mismo que 8/12; sólo hay que dividir numerador y denominador de la primera fracción por 2 (factor común). Es más, 8/12 es lo mismo que 4/6, que es lo mismo que 2/3. Sin embargo 2/3 no puede ser simplificado porque dos y tres no tienen factores comunes. Es imposible continuar simplificando una fracción por siempre.

Ahora recordemos que Euclides cree que √2 no se puede escribir como una fracción. Sin embargo adopta el método de prueba por contradicción y trabaja con la suposición de que la fracción p/q existe y explora las consecuencias de su existencia:

                                                   √2 = p/q

Si se elevan ambos miembros al cuadrado:

                                                   2 = p²/q²

Multiplicamos ambos miembros por q²

                                                  2q² = p²

Ahora, según el punto 1, sabemos que p² debe ser par. Es más, por el punto 2 sabemos que el mismo p también ha de ser par. Pero si p es par entonces se puede escribir como 2m, donde m es otor número entero. esto se sigue del punyo 1. Lo introducimos en la ecuación y resulta:

                                                     2q² = (2m)² = 4m²

Dividimos por 2 ambos lados:

                                                    q² = 2m²

Pero por el mismo argumento que el usado antes sabemos que q² debe ser par, y así el mismo q también tiene que ser par. Si éste es el caso, entonces q se puede escribir como 2n, donde n es algún otro número entero. Si volvemos al principio, entonces:

                                                     √2 = p/q = 2m/2n

La fracción 2m/2n se puede simplificar dividiendo el numerador y el denominador por 2, y se obtiene:

                                                       √2 = m/n

Ahora se obtiene una fracción m/n que es más sencilla que p/q.

Sin embargo nos encontramos en la posición de poder repetir exactamente el mismo proceso sobre m/n, y al final del proceso generamos una fracción aún más sencilla, digamos g/h. Esta fracción puede ser pasada otra vez por la piedra del molino, y la nueva fracción, llamémosla e/f, será más simple aún. Podemos volver a tratar esta fracción y repetir el proceso una y otra vez, en una sucesión sin fin. Pero por el punto 3 sabemos que las fracciones no pueden simplificarse indefinidamente. Siempre existe la fracción más simple, pero nuestra fracción hipotética original p/q no parece obedecer esta regla. Por lo tanto, estamos justificados para decir que hemos encontrado una contradicción. Si √2 se pudiera escribir como una fracción la consecuencia sería un absurdo, y así lo correcto es decir que √2 no se puede escribir como una fracción. Por tanto √2 es un número irracional. 

 

Cuadrados y palillos

Trata de formar siete cuadrados moviendo solamente dos palillos....

 

 Solución

 ¿Quién dijo que los cuadrados tu vieran que ser iguales?

Quita el del borde superior izquierdo y ponlo paralelo al del borde superior derecho, por debajo de éste, entre él y el palillo azul derecho.

Ahora quita el superior del borde izquierdo y ponlo paralelo al paillo azul de más arriba, entre éste y el negro que queda a su izquierda...

pues ya está hecho

 

El archiconocido problema de la niña mayor que tocaba el piano

 Dos matemáticos se encuentran en la calle después de mucho tiempo sin verse. 
- ¡Cuánto tiempo sin verte, Edelmiro!.
- ¡Vaya!, parece que fue ayer, Chindasvinto.
- Y qué, ¿te casaste?.
- Sí,  tengo tres hijas preciosas.
- ¿Qué edad tienen?.
- Pues no te voy a decir la edad que tiene cada una, pero sí te diré que el producto de sus edades es 36. Como te faltarán datos añadiré que la suma es el número de la casa de enfrente.
 El amigo (que era mu chulo) le contesta:
- Me siguen faltando datos.
- Sí, claro, la mayor toca el piano.

      Y el amigo (que recordemos era mu chulo) dio inmediatamente la respuesta.

Pos hala...a averiguar vosotros cuántos años tenían las niñas...

 

 

 

Solución

 

Estas son todas las ternas de números cuyo producto es 36 y sus sumas:
1+1+36=38;  1+2+18=21; 1+3+12=16
 1+4+9=14;  1+6+6=13;  2+2+9=13
 2+3+6=11; 3+3+4=10 

    Como podéis ver, dos de ellas suman trece que debe ser,  por fuerza,  el nº de la casa de enfrente, de ahí que Edelmiro le dijera a su "amigo" ( lo pongo entre comillas porque a los amigos de verdad no se les dicen cosas así)  que iban a faltarle datos. Recordemos que más tarde añade "la mayor toca el piano". Si hay una mayor, queda descartada la solución 1,6,6, por lo que las edades de las hijas han de ser necesariamente 2, 2 y 9. Y parecía imposible... ainss almas cándidas (este problema le gustaba mucho a Einstein...por lo menos, eso dicen).

El problema del ajedrez

Un rey aficionado al juego del ajedrez, quiso premiar a su inventor. Cuando se encontraron, éste propuso al rey que si ganaba, haría lo siguiente: En la primera casilla del tablero pondría un grano de arroz. En la segunda dos. En la tercera cuatro, luego ocho y así sucesivamente hasta completar las 64 casillas del tablero. El rey aceptó, perdío la partida y, claro, la apuesta.

   No había grano de arroz en el reino lo suficiente para cumplir la apuesta. ¿Cuántos granos de arroz había?

   La respuesta es simple. Todo esto se puede expresar como una sucesión geométrica cuya expresión viene dada por:

                 [a_n = a₁ · r^{n - 1}]

                 a_n = 2^{n - 1}

   Claculamos el término de la sucesión nº 64 y sale:

               a₆₄ = 2⁶³ = 9.22 · 10¹⁸ granos de arroz

   Pero la suma de todos los granos de arroz no es esa. Si aplicamos la fórmula de la suma de los n términos de una progresión geométrica:

             S_n = (a_n · r  -  a₁) /(r - 1)

  S₆₄ = (9.22 · 10¹⁸ · 2   -   1)/(2 - 1) = 1.844 · 10¹⁹ granos de arroz

   Ahora que lo pienso... Pobre del que tenía que contarlos. Jajajajajaja.

¿Tenéis dudas? Pues escuchad nuestro lema...

Bueno, ahora que ya ha empezado el curso nos gustaría recordaros que la sección de dudas está enteramente a vuestra disposición. Nos ofrecemos a ayudaros en todo lo que podamos, siempre que el nivel de las preguntas no sea superior a nuestros conocimientos (estamos en 2º de bachillerato (Best, ejem)^^). Para dejar vuestras preguntas dejad un comentario en este post de la sección "dudas". Seleccionaremos cada pregunta y la resolveremos individualmente, con un post para cada duda. El post contendrá vuestra pregunta y la respuesta y explicación respectivas. Si no os queda claro podéis añadir comentarios a la explicación que demos, y os seguiremos respondiendo. Intentaremos responder al día, en dos turnos: sobre las 4 y sobre las 10 de la noche. 

Para aquellos que nunca han dejado un comentario en un blog: no es obligatorio registrarse, podéis dejar comentario sólo dando vuestro nombre.

2 = Raíz de 2

Para que vean lo que queremos decir, vamos a hacer lo siguiente:

Cogemos un cuadrado de lado 1u y trazamos su diagonal, que según el Teorema de Pitágoras (tantas veces demostrado) el valor de la diagonal es:

                    d²  = l² + l²

                    d² = 1 + 1

                    d = (2)^(1/2)  = Raíz de 2        

Si en el punto medio de la diagonal trazamos dos rectas paralelas a los lados del cuadrado, se forma una especie de escalera de dos escalones. Si sumamos la altura de los dos escalones y su longitud, obtenemos el resultado de 2u.

Si en los sucesivos puntos medios hacemos más escalones, la suma de las longitudes y las alturas seguirá valiendo 2u

Si seguimos haciendo infinitos escalones, éstos se terminarán por confundir en la diagonal, por tanto:

                                   2 = Raíz de 2

 ¿Qué ha pasado? (Mwajajajaja)

4ª demostación del Teorema de Pitágoras.

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

          

                                     (r/u) = (s/v) = r’

siendo r’ la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

 

 

obtenemos después de simplificar que:

pero siendo la razón de semejanza, está claro que:

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

   

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:

(I)

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

pero según (I) , así que:

y por lo tanto:

                                Q.E.D.

3ª demostración del Teorema de Pitágoras

China: el Chou Pei Suan Ching, y el Chui Chang Suang Shu:

 

El Chou Pei es una obra matemática de datación discutida, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 a.C. (Anterior a Pitágoras). Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al Chui Chang parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.

El Chou Pei demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c (imagen de arriba). Los lados a y b son los catetos y el lado c es la hipotenusa.

Utilizando la nomenclatura de la imagen queremos demostrar que c² = a² + b²

Es evidente que el área del cuadrado mayor es igual a 4 veces el área de uno de los triángulos más el área del cuadrado pequeño que queda en el centro. El lado de este cuadrado central es b - a, con lo cual su área es (b - a)².

 Área de un triángulo: (ab)/2

c² = 4(ab)/2 + (b - a)² =2ab + b² + a² - 2ab = a² + b²

                                                                       Q.E.D

2ª demostración del Teorema de Pitágoras

Esta demostación se basa en el teorema del cateto.

De un triángulo rectángulo ABC, trazamos su altura desde su ángulo recto, obteniéndo así dos triángulos semejantes ACD y ABD. Dada su semejanza, podemos esrtablecer las siguientes relaciones:

En el triángulo ABC a es a b como en el triángulo ACD b es a m. Que se escribiría una cosa tal que así:

                                                    (a/b) = (b/m)

Lo que es igual a:                        b² = a · m                      (1)

En el triángulo ABC a es a c como en el triángulo ABD c es a n. Que se escribiría una cosa tal que así:

                                                    (a/c) = (c/n)

Lo que es igual a:                        c² = a · n                        (2)

 

Según las ecuaciones 1 y 2, si las sumamos queda:                  

                                       b² + c² = a · n + a · m

                                        b² + c² = a ( n + m )

                                        b² + c² = a²

                                                     Q.E.D

                       (quod erat demonstrandum)

 

Números imaginarios...

Muajajajajajaja.... empiezo así porque el reto que propongo a continuación me encanta. Los números imaginarios son aquellos de la forma a + bi, donde i =√-1.

Sabiendo esto, atentos a lo siguiente:

1= √1= √((-1)*(-1)) = √-1  *  √-1 = i*i = i² = (√-1)² = -1

¿Alguien sabe qué ha pasado? ak ak ak ak (homenaje a Jesús)

 

Teorema de Pitágoras (demostración sagrada número 1)

Bueno, primero explico el título. Para mí y para otros pocos más hay tres demostrasiones mu sensillitas pero muy importantes (como las tres manifestaciones de Dios, pues igual) que nunca está de más ver: La del teorema de pitágoras, la de la irracionalidad de √2 y la de que existen infinitos números primos. Vamos a empezar por Pitágoras:

Es famosa la frase "en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".  Existen varias formas de demostrarlo. Por lo pronto vamos a poner una, aunque ampliaremos otro día con alguna más:

Antes de empezar: el área del cuadrado se calcula elevando su lado al cuadrado. La del triángulo es (base x altura) / 2

En la imagen de arriba se ven dos cuadrados: uno con lado "r", de color rosa, y otro con lado "x + y", el más grande. Al mismo tiempo observamos cuatro triángulos rectángulos, con catetos "x" e "y", e hipotenusa "r". Lo que queremos demostrara es que r² = x² + y². Para ello vamos a empezar escribiendo la relación existente entre las áreas de los dos cuadrados.

(x + y)² = área del cuadrado grande

r²= área del cuadrado rosa

(x*y) / 2 = área del triángulo rectángulo

El área del cuadrado grande es igual a la del cuadrado rosa más cuatro veces el áres de uno de los triángulos. Es decir:

(x + y)² = r² + 4(x*y) / 2   Simplificamos la parte de la derecha:

(x + y)² = r² + 2(x*y)    Desarrollamos el paréntesis del primer miembro

x² + 2xy + y² = r² + 2xy    Restamos 2xy en los dos miembros

x² + y² = r²

Pues ya está hecho... fácil, no? : )

 

Un problema muuuu antiguo

Este problema aparecía en la Antología griega, una colección de 48 problemas del 500 .C.:

Soy un león de bronce que está en el centro de un estanque. Salen chorros de agua por mis ojos, por la boca y por la planta del pie derecho. El chorro del ojo derecho llenaría, por si solo, el estanque en dos horas; el del izquierdo en tres; el del pie, en cuatro, y el de la bocaen seis. ¿En cuánto tiempo se llena el estanque con los cuatro chorros?

 

PD: Esto es pa k veais que los problemas de depósitos, litros y grifos no son un método de tortura de ahora, llevan 1500 años estresando adolescentes. A pesar de todo... ¿por qué no lo intentáis? Daremos la solución a finales de septiembre (si se nos olvida dejad un comentario pidiéndola)

 

 

SOLUCIÓN

Como al final, nadie la pidió, aquí presentamos la solución:

Si la velocidad de cada caño es igual a la cantidad dividido entre el entre el tiempo:

   Vel = Cantidad / Tiempo

Y la cantidad es:

   Cantidad = Veloc · Tiempo

Damos nombres a las incógnitas:

   x = velocidad caño ojo 1

   y = velocidad caño ojo 2

   z = velocidad caño boca

   w = velocidad caño pie

   c = capacidad dela fuente

   t = tiempo que tarde en llenar (en horas)

Lo expresamos todo en un solo sistema:

   x = c/2

   y = c/3

   z = c/4

   w = c/6

   c = (x + y + z + w) · t

Si sustituímos todo en la última expresión:

   c = ( c/2 + c/3 + c/4 + c/6 ) · t

   c = (15/12) · c · t

   1 = (15/12) · t

   t = 12/15 horas = 48 minutos

Problemas "sensillitos" (sin segundas, en)

1) Cada mochuelo en su olivo y sobra un mochuelo. Dos mochuelos en cada olivo y sobra un olivo. ¿Cuántos mochuelos y olivos hay, eeen?

2) Mi hermano pesa 10 kg más de la mitad de lo que pesa. ¿Cuánto pesa mi hermano? NOTA: en elproblema original ponía perro, pero yo no tengo perro así que... pa hacerlo más realista.

3) Tenemos tres bolas (chinas) idénticas. ¿Cómo debemos colocarlas para que la distancia de cada una a las dos que quedan sea la misma? ¿Y si tenemos cuatro bolas?

4) Juan escribe 10 cartas a 10 amigos (es que Juan no conoce internet). Para enviarlas mete aleatoriamente cada carta dentro de un sobre con la dirección escrita de antemano. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente nueve cartas en el sobre correcto? NOTA: leedlo varias veces...

El que quiera la solución que deje un comentario

 

En el blanco

Estás disputando una competición de dardos. Es tu turno y ya has lanzado un dardo. Ahora te quedan dos. Si consigues 18 puntos ganas la partida.

¿Cuántas combinaciones posibles te permiten ganar en este turno?

Recordemos que una diana tiene 20 secciones y que tenemos en cuenta los dobles y los triples.

Presentaremos la solución a comienzos de septiembre, mietras tanto, ¡intentadlo!

   SOLUCIÓN:

La respuesta es 66. (Considera dobles, triples y orden, por ejemplo: 10 con el primer dardo y 8 con el segundo es una combinación, y 8 con el primero y 10 con el segundo es otra distinta).

Raiz de 2 mató una vez a un hombre...

Estamoes en la Grecia antigua, delante de Hipassus de Metaponto, uno de los discípulos de Pitágoras. El chaval en cuestión se entretiene jugando con √2, intentando encontrar una fracción equivalente a ese número. Le está costando mucho encontrarla, pero claro, su maestro dice que todos los números pueden expresarse en forma de fracción, que los números racionales explican todos los fenómenos de la Naturaleza y que no hay lugar para otros números más que ellos en el universo.Así que él no desiste y sigue buscando. Al cabo de cierto tiempo Hipassus empezó a pensar que quizás tal cociente no existiese, es decir, que √2 podía ser un nº irracional... El muchacho se puso loco de contento con su descubrimiento, pero Pitágoras no pareció alegrarse tanto. La revelación de Hipassus debería haber obligado a Pitágoras a replantearse lo que hasta ahora había defendido con uñas y dientes, pues la lógica no había conseguido echar por tierra la propuesta de su discípulo. Sin embargo no lo hizo y , para su vergüenza, mandó a Hipassus a morir ahogado. 

Uno de los grandes genios de las matemáticas recurrió a la fuerza antes de admitir que se había equivocado; hasta después de su muerte no se pudo volver a hablar sin peligro sobre números irracionales.

Estrella numérica

   En la figura que presentamos a continuación, te proponemos que la completes con los números comprendidos del 4 al 16 ambos inclusive excepto el 13 de forma que la suma de los números existentes en cada línea formada por la figua de 39. No se puede repetir ni eliminar números. Presentaremos la solución más adelante. ¡Mucha suerte!

Igualdades notables (III)

(a+b) · (a-b) = a² - b²

(a+b) · (a-b) es igual al rectágulo verde del dibujo, que podemos obtener si al rectángulo más grande (a(a+b)) le restamos el rectángulo rojo (b(a+b)). Si desarrollamos esto queda:

(a+b) · (a-b) = a(a+b) - b(a+b) = a² + ab -ab - b² = a² - b²

 

                                                                                                                                                                                                                    C.Q.D.

(como queríamos demostrar)

By Artemio.

Igualdades notables (II)

(a-b)²= a² + b ² - 2ab.

(a-b)² corresponde al cuadrado mediano. El área de este cuadrado es igual al cuadrado grande (a²) menos el rectángulo rojo (ab) y  menos el rectángulo blanco ((a-b)b). Esto queda así: (a-b)²= a² - ab - b(a-b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b²