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Matemáticas Áureas

Problemas hechos y comentados

Una sucesión un tanto peculiar

   Una mañana nubosa de Octubre, estaba yo conversando con mi amigo Protágoras, sofista de profesión, sobre la omnipotencia o no de Las Matemáticas. Como buen sofista que era, defendía que la utilidad de ellas dependía del entendimiento de cada uno y que nunca se podrían conocer completamente (recordemos el relativismo y el escepticismo sofista). En mi caso, defendía que eran omnipotentes y que el límite, en la práctica, se lo pone el entendimiento humano.

   Protágoras, al parecer ofendido por mi razonamiento, me propuso una sucesión de números para ver si mi "fe" por Las Matemáticas podría ayudarme a resolverla. La sucesión era la siguiente:

 

4  2  5  2  6  0  3  7  6  4  6  9  0  8  0  4  3  4  9  5  7  3  7  5  4  4  9  4  3  8  0

 

   Justo entonces, nuestro amigo Protágoras se fue corriendo a un barco que iba a zarpar en ese momento. El pobre hombre tuvo la mala suerte de que el barco al que se subió sufría lo que se conoce como "la broma" (véase) y se hundió a los pocos metros de viaje. Murió ahogado.

   Tengo como herencia suya el deber de buscar el patrón de esta serie de números, me llevará un poco de tiempo. Publicaré la solución más adelante.

Nota: Adaptado del libro El prodigio de los números, de Clifford A. Pickover

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SOLUCIÓN

   Sinceramente, esperaba que algún forofo de ese número tan importante me diera la solución. ¿No os recuerda a un número sorprendentemente familiar?

 

4  2  5  2  6  0  3  7  6  4  6  9  0  8  0  4  3  4  9  5  7  3  7  5  4  4  9  4  3  8  0

3  1  4  1  5  9  2  6  5  3  5  8  9  7  9  3  2  3  8  4  6  2  6  4  3  3  8  3  2  7  9

 

   El numerito era 3.141592653589793238462643383279 (¡¡¡PI!!!). Un poco friki, ¿verdad? Una curiosidad: con todas esas cifras se puede obtener la longitud de la órbita de Neptuno con una precisión del milímetro (y creo que más).

   Lo curioso de todo esto es que de ser mi historia cierta, el sofista Protágoras sería el que en ese momento había calculado más cifras de Pi, que sólo sería superado por Ludolph Van Ceulen en 1610 con 37 cifras. Algo curioso, porque despreciaba Las Matemáticas

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Los Jonas Brothers se pelean (teoría de juegos)

Un trielo es similar a un duelo, con la diferencia de que hay tres participantes en lugar de dos. Una mañana, Kevin, Joe y Nick (sí, los Jonas Brothers) deciden acabar un conflicto (quién ha cogido mi anillo de castidad?, has sido tú Nick?, No yo no he sido, Eres idiota, solucionemos esto como hombres que somos...) participando en un trielo con pistolas hasta que sólo quede uno de ellos. Kevin es el peor tirador porque su promedio de aciertos es de uno de cada tres disparos. Joe es algo mejor porque su media está en dos aciertos de cada tres intentos. Nick es el mejor, siempre hace diana. Para hacer el trielo mñas justo dejan que Kevin dispare primero, luego podría tirar Joe (si sigue vivo) y detrás de él Nick (si no está muerto para entonces), y vuelta a empezar hasta que sólo quede uno de ellos. La duda es: ¿hacia dónde debería derigir Kevin su primer tiro?

 

 

 

Solución

Examinemos sus opciones. Primero Kevin podría a puntar a Joe. Si acierta, el siguiente disparo lo efectuará Nick. A Nick sólo le queda un oponente, Kevin, y ya que Nick nunca falla ningún tiro, Kevin está muerto.

Una opción mejor es apuntar a Nick. Si tiene éxito entonces el siguiente disparo corresponde a Joe, que sólo da en el blanco 2 de cada 3 veces, por lo que existe la posibilidad de que Kevin sobreviva para disparar otra vez él a Joe y quizás, ganar el trielo.

Parece que la segunda opción es la que debería seguir Kevin. Sin embargo existe una tercera opción aún mejor. Kevin podría apuntar al aire. el próximo disparo le corresponde a Joe, y él apuntará a Nick, puesto que es el oponente más peligroso. Si Nick sobrevive apuntará a Joe, puesto que es su más peligroso oponente. Apuntando al aire Kevin está permitiendo que Joe elimine a Nick o viceversa.

Ésta es la mejor estrategia de Kevin. al final, Joe o Nick morirán y entonces Kevin disparará al superviviente. evin ha manipulado la situación de manera que, en lugar de tener el primer disparo en un trielo, tiene el primer disparo en un duelo.

Cuadrados y palillos

Cuadrados y palillos

Trata de formar siete cuadrados moviendo solamente dos palillos....

 

 Solución

 ¿Quién dijo que los cuadrados tu vieran que ser iguales?

Quita el del borde superior izquierdo y ponlo paralelo al del borde superior derecho, por debajo de éste, entre él y el palillo azul derecho.

Ahora quita el superior del borde izquierdo y ponlo paralelo al paillo azul de más arriba, entre éste y el negro que queda a su izquierda...

pues ya está hecho

 

El archiconocido problema de la niña mayor que tocaba el piano

 Dos matemáticos se encuentran en la calle después de mucho tiempo sin verse. 
- ¡Cuánto tiempo sin verte, Edelmiro!.
- ¡Vaya!, parece que fue ayer, Chindasvinto.
- Y qué, ¿te casaste?.
- Sí,  tengo tres hijas preciosas.
- ¿Qué edad tienen?.
- Pues no te voy a decir la edad que tiene cada una, pero sí te diré que el producto de sus edades es 36. Como te faltarán datos añadiré que la suma es el número de la casa de enfrente.
 El amigo (que era mu chulo) le contesta:
- Me siguen faltando datos.
- Sí, claro, la mayor toca el piano.

      Y el amigo (que recordemos era mu chulo) dio inmediatamente la respuesta.

Pos hala...a averiguar vosotros cuántos años tenían las niñas...

 

 

 

Solución

 

Estas son todas las ternas de números cuyo producto es 36 y sus sumas:
1+1+36=38;  1+2+18=21; 1+3+12=16
 1+4+9=14;  1+6+6=13;  2+2+9=13
 2+3+6=11; 3+3+4=10 

    Como podéis ver, dos de ellas suman trece que debe ser,  por fuerza,  el nº de la casa de enfrente, de ahí que Edelmiro le dijera a su "amigo" ( lo pongo entre comillas porque a los amigos de verdad no se les dicen cosas así)  que iban a faltarle datos. Recordemos que más tarde añade "la mayor toca el piano". Si hay una mayor, queda descartada la solución 1,6,6, por lo que las edades de las hijas han de ser necesariamente 2, 2 y 9. Y parecía imposible... ainss almas cándidas (este problema le gustaba mucho a Einstein...por lo menos, eso dicen).

Números imaginarios...

Muajajajajajaja.... empiezo así porque el reto que propongo a continuación me encanta. Los números imaginarios son aquellos de la forma a + bi, donde i =√-1.

Sabiendo esto, atentos a lo siguiente:

1= √1= √((-1)*(-1)) = √-1  *  √-1 = i*i = i2 = (√-1)2 = -1

¿Alguien sabe qué ha pasado? ak ak ak ak (homenaje a Jesús)

 

Un problema muuuu antiguo

Este problema aparecía en la Antología griega, una colección de 48 problemas del 500 .C.:

Soy un león de bronce que está en el centro de un estanque. Salen chorros de agua por mis ojos, por la boca y por la planta del pie derecho. El chorro del ojo derecho llenaría, por si solo, el estanque en dos horas; el del izquierdo en tres; el del pie, en cuatro, y el de la bocaen seis. ¿En cuánto tiempo se llena el estanque con los cuatro chorros?

 

PD: Esto es pa k veais que los problemas de depósitos, litros y grifos no son un método de tortura de ahora, llevan 1500 años estresando adolescentes. A pesar de todo... ¿por qué no lo intentáis? Daremos la solución a finales de septiembre (si se nos olvida dejad un comentario pidiéndola)

 

 

SOLUCIÓN

Como al final, nadie la pidió, aquí presentamos la solución:

Si la velocidad de cada caño es igual a la cantidad dividido entre el entre el tiempo:

   Vel = Cantidad / Tiempo

Y la cantidad es:

   Cantidad = Veloc · Tiempo

Damos nombres a las incógnitas:

   x = velocidad caño ojo 1

   y = velocidad caño ojo 2

   z = velocidad caño boca

   w = velocidad caño pie

   c = capacidad dela fuente

   t = tiempo que tarde en llenar (en horas)

Lo expresamos todo en un solo sistema:

   x = c/2

   y = c/3

   z = c/4

   w = c/6

   c = (x + y + z + w) · t

Si sustituímos todo en la última expresión:

   c = ( c/2 + c/3 + c/4 + c/6 ) · t

   c = (15/12) · c · t

   1 = (15/12) · t

   t = 12/15 horas = 48 minutos

Problemas "sensillitos" (sin segundas, en)

1) Cada mochuelo en su olivo y sobra un mochuelo. Dos mochuelos en cada olivo y sobra un olivo. ¿Cuántos mochuelos y olivos hay, eeen?

2) Mi hermano pesa 10 kg más de la mitad de lo que pesa. ¿Cuánto pesa mi hermano? NOTA: en elproblema original ponía perro, pero yo no tengo perro así que... pa hacerlo más realista.

3) Tenemos tres bolas (chinas) idénticas. ¿Cómo debemos colocarlas para que la distancia de cada una a las dos que quedan sea la misma? ¿Y si tenemos cuatro bolas?

4) Juan escribe 10 cartas a 10 amigos (es que Juan no conoce internet). Para enviarlas mete aleatoriamente cada carta dentro de un sobre con la dirección escrita de antemano. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente nueve cartas en el sobre correcto? NOTA: leedlo varias veces...

El que quiera la solución que deje un comentario

 

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En el blanco

Estás disputando una competición de dardos. Es tu turno y ya has lanzado un dardo. Ahora te quedan dos. Si consigues 18 puntos ganas la partida.

¿Cuántas combinaciones posibles te permiten ganar en este turno?

Recordemos que una diana tiene 20 secciones y que tenemos en cuenta los dobles y los triples.

Presentaremos la solución a comienzos de septiembre, mietras tanto, ¡intentadlo!

   SOLUCIÓN:

La respuesta es 66. (Considera dobles, triples y orden, por ejemplo: 10 con el primer dardo y 8 con el segundo es una combinación, y 8 con el primero y 10 con el segundo es otra distinta).

Estrella numérica

Estrella numérica

   En la figura que presentamos a continuación, te proponemos que la completes con los números comprendidos del 4 al 16 ambos inclusive excepto el 13 de forma que la suma de los números existentes en cada línea formada por la figua de 39. No se puede repetir ni eliminar números. Presentaremos la solución más adelante. ¡Mucha suerte!

La ruleta numérica

La ruleta numérica

   Esta ruleta numérica no gira, pero tiene números del 1 al 10. El problema consiste en averiguar la relación que tienen la posición de estos números. Daremos la solución a comienzos de septiembre. ¡Mucha suerte! (Es relativamente fácil).

   SOLUCIÓN:

La suma de cualquier pareja de números seguidos en la circunferencia es igual a la de los que están en su lado opuesto (ejemplo: 2 + 8 = 3 + 7). Además, la suma de los números que quedan a cada lado de cualquier diámetro que una dos números es igual (ejemplo: diámetro 4 y 9; 8 +2 + 6 + 5 = 10 + 1 + 3 + 7).

 

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El problema de Monty Hall

Supón que estás en un concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un coche, y detrás de las otras, cabras. Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la nº3, que contiene una cabra. Entonces te pregunta: "¿No prefieres escoger la nº2?". ¿Es mejor para ti cambiar tu elección?

El Problema de Monty Hall es un problema de probabilidad inspirado en el concurso de televisión estadounidense Let’s Make a Deal (Hagamos un trato). El problema debe su nombre al presentador del concurso: Monty Hall. La respuesta la daremos también el 1 de Agosto y vendrá acompañada de un comentario largo y aburrido :P. En serio, la respuesta es sorprendente, y aunque quizá cueste comprenderla al principio, una vez que se ha entendido comienzas a preguntarte qué pasará cuando el número de puertas crezca..., bueno, ahí lo dejo por ahora, en agosto hablaremos largo y tendido sobre esto (al menos los autores del blog...)

Solución (día 4 de agosto; estábamos de vacaciones)

Esta solución se basa en tres suposiciones básicas:

  • que el presentador siempre abre una puerta,
  • que la escoge entre las restantes después de que el concursante escoja la suya,
  • y que tras ella siempre hay una cabra.

La probabilidad de que el concursante escoja en su primera oportunidad la puerta que oculta el coche es de 1/3, por lo que la probabilidad de que el coche se encuentre en una de las puertas que no ha escogido es de 2/3. ¿Qué cambia cuando el presentador muestra una cabra tras una de las otras dos puertas?

Una suposición errónea es que, una vez sólo queden dos puertas, ambas tienen la misma probabilidad (un 50%) de contener el coche. Es errónea ya que el presentador abre la puerta después de la elección de jugador. Esto es, la elección del jugador afecta a la puerta que abre el presentador. No es un suceso aleatorio ni inconexo.

Si el jugador escoge en su primera opción la puerta que contiene el coche (con una probabilidad de 1/3), entonces el presentador puede abrir cualquiera de las dos puertas. Además, el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad.

Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opción (con una probabilidad de 2/3), el presentador sólo tiene la opción de abrir una puerta, y esta es la única puerta restante que contiene una cabra (partiendo de que la puerta que abre el presentador siempre esconde una cabra). En ese caso, la puerta restante tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana.

En resumen, si mantiene su elección original gana si escogió originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia, gana si escogió originalmente una de las dos cabras (con probabilidad de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar su elección si quiere maximizar la probabilidad de ganar el coche.

¿Por qué sucede esto?

Porque lo que muestra el presentador no afecta a tu elección original, sino sólo a la otra puerta no escogida. Una vez se abre una puerta y se muestra la cabra, esa puerta tiene una probabilidad de 0 de contener un coche, por lo que deja de tenerse en cuenta. Si el conjunto de dos puertas tenía una probabilidad de contener el coche de 2/3, entonces, si una tiene una probabilidad de 0, la otra debe tener una probabilidad de 2/3. La elección, básicamente, consiste en preguntarte si prefieres seguir con tu puerta original o escoger las otras dos puertas. La probabilidad de 2/3 se traspasa a la otra puerta no escogida (en lugar de dividirse entre las dos puertas restantes de modo que ambas tengan una probabilidad de 1/2) porque en ningún caso puede el presentador abrir la puerta escogida inicialmente. Si el presentador escogiese al azar entre las dos puertas con cabras (incluyendo la del concursante), abriese una de ellas y luego diese de nuevo a elegir, entonces las dos puertas restantes sí tendrían la misma probabilidad de contener el coche.

NOTA: esto es parte de la solución que da wikipedia. Es un poco complicado de entender y esta es la solución más clara que hemos encontrado (imposible expresarlo con nuestras propias palabras...). Leedlo las veces que haga falta; hay muy pocas posibilidades (LOL) de pillarlo a la primera... 

Un bosque habéis de plantar...

Un bosque habéis de plantar...

Un bosque habéis de plantar, mi señor,
si queréis demostrar que soy vuestro amor.
Esta arboleda, aunque pequeña, ha de estar compuesta
por veinticinco arbolitos en doce filas bien dispuestas,
y en cada fila cinco árboles plantaréis
o mi lindo rostro nunca más veréis.

Aquí dejo este problema, espero que alguien intente resolverlo... :$. Si sabéis la solución no la publiquéis en los comentarios hasta agosto. El día uno daremos la solución, echadle un ojo!

La solución está en el dibujo...

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