Los axiomas de la aritmética

Si algo bueno tienen las matemáticas es que TODO se puede demostrar (al menos todo lo que vemos nosotros; al menos hasta que llegó Godel). Pues bien hay 7 premisas básicas que no pueden demostrarse, no pueden reducirse más. Estos son los siete axiomas sobre los que se asienta la aritmética; los siete dogmas matemáticos:

1) Para cualesquiera números m y n

                     m+n = n+m          y            mn = nm

2) Para cualesquiera números m, n y k

               (m+n)+k = m+(n+k)          y           (mn)k = m(nk)

3) Para cualesquiera números m, n y k

                     m(n+k) = mn + mk

 

(Andaaaa! pero si resulta que las propiedades distributiva, asociativa y conmutativa que llevo dando desde 3º de primaria son tres de los axiomas de la aritmética!! pero qué cosas sé....! )

4) Existe un número 0 que tiene la propiedad de que, para cualquier número n:

                     n + 0 = n

5) Existe un número 1 que tiene la propiedad de que, para cualquier número n:

                     n x 1 = n

6) Para cada número n existe otro número k tal que

                    n + k = 0

7) Para cualesquiera números m, n y k

si K ≠ 0   y    kn = km,     entonces    m = n

 

 

A partir de estos axiomas se pueden demostrar otras reglas. Por ejemplo, aplicando rigurosamente estos axiomas y sin asumir nada más, se puede demostrar la aprentemente obvia regla de que:

        si m+k = n+k   entonces m=n

Para empezar decimos que:

             m+k = n+k

Entonces, según el axioma 6, supongamos que l es un número tal que k + l = 0, así que:

              (m+k) + l = (n + k) + l

Entonces, por el axioma 2,

                        m + (k + l) = n + (k + l)

Recordando que k + l = 0, sabemos que

                         m + 0 = n + 0

Se aplica el axioma 4 y podemos declarar que hemos establecido que

                             m = n