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Matemáticas Áureas

4ª demostación del Teorema de Pitágoras.

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

           La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema

                                     (r/u) = (s/v) = r’

siendo r’ la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

S_{PQR} = frac {1}{2} left ( rs right ) 

S_{PST} = frac {1}{2} left ( uv right ) 

obtenemos después de simplificar que:

frac {S_{PQR}}{S_{PST}}=frac {rs}{uv} = frac {r}{u} cdot frac {s}{v}

pero siendo frac {r}{u}=frac {s}{v} = r la razón de semejanza, está claro que:

frac {S_{PQR}}{S_{PST}}= left (frac {r}{u} right )^2 = left ( frac {s}{v} right ) ^2

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

  frac {S_{ACH}}{S_{BCH}}= left (frac {b}{a} right )^2  

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:

frac {S_{ACH}} {b^2} = frac {S_{BCH}} {a^2} = frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 } (I)

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

frac {S_{ACH}}{S_{ABC}}= left (frac {b}{c} right )^2 frac {S_{ACH}}{b^2} = frac {S_{ABC}} {c^2}

pero según (I) frac {S_{ACH}} {b^2} = frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 }, así que:

 frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 } = frac {S_{ABC}} {c^2}

y por lo tanto:

 b^2  + a^2  =  c^2                                Q.E.D.

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