Demostraciones

10ª demostración del Teorema de Pitágoras o demostración de Einstein

   En el triángulo original, de lados a, b, c, trazamos una altura. Se forman así dos nuevos triángulos rectángulos. El de la izquierda o el menor tiene por hipotenusa a cuya área nombraremos por S_a,, el de la derecha o el mayor tiene por hipotenusa b, y su área será S_b y el triángulo original, con hipotenusa c, tendrá un área S_c.

   Estos tres triángulos son semejantes porque tienen ángulos iguales. En el plano euclídeo, el área de cualquier figura geométrica es proporcional al cuadrado de su dimensión lineal. Podemos escribir por tanto que:

         S_a = K · a²
         S_b = K · b²
         S_c = K · c²

   Donde K es una constante igual en las tres ecuaciones (ya que los triángulos, al ser semejantes, son la misma figura geométrica).

Además, es obvio que

        S_c = S_a + S_b

Sustituyendo aquí las ecuaciones anteriores:

       K · c² = K · b² + K · a²

       c² = a² + b²            Quot erat demostrandum (Q.E.D.)

   Se dice que cuando Einstein tenía once años, su tío Jacob le enseñó la demostración de Euclides del teorema de Pitágoras. Al pequeño Albert le pareció demasiado complicada, y pensando sobre el asunto, dio con esta prueba.

9ª demostración del Teorema de Pitágoras

   Calculamos el área del triangulo ABC de dos formas diferentes.

   Una forma posible es sabiendo que el área de un triangulo es igual al semiperímetro por el radio del circulo inscrito o lo que es lo mismo, la suma de las áreas de los tres triángulos que se forman, siendo la base el lado y la altura el radio. s es el semiperímetro y r es el radio de la circunferencia inscrita.

     Area = s · r = (a + b + c)/2 · r = (a · r)/2 + (b · r)/2 + (c · r)/2

   De la figura se tiene que la hipotenusa c = (a - r) + (b - r) (comprobémoslo como si usásemos un compás, trasladando esa medida a la hipotenusa. Nota importante: el segmento que queda desde el punto de cotre del radio con los catetos a y b hasta el ángulo rectangulo tiene la misma medida que el radio) de donde r = s - c.

     Area = s · r = s · (s - c)

   Sabiendo además que el área del triángulo es también el semiproducto de la base por la altura:

         Área = Bas · alt /2 = a · b / 2.

Igualando las expresiones anteriores y sabiendo que s = (a + b + c)/2 por sustituir lo anterior:

      s · (s - c) = a · b/2

     (a + b + c)/2 · (a + b - c)/2 = ab /2 

     (a + b + c) · (a + b - c) = 2ab

     (a + b)² - c² = 2ab 

      a² + b ² + 2ab - c² = 2ab;

      a² + b² = c²              Quot erat demostrandum (Q.E.D.)

8ª demostración del Teorema de Pitágoras o demostración de Vieta

   Y vamos ahora con la octava demostración de 367 del archifamoso Teorema de Pitágoras. Para ello, hemos de recordar la definición de potencia de un punto que ya explicamos en la sexta demostración, pero esta vez, el punto fijo está dentro de la circunferencuia y se llama C.

   Expresamos las siguientes igualdades:

   DC = DA + AC = AB + AC

   CE = AE - AC = AB - AC

   ya que AE = AB por ser este el radio de la circunferencia.

   Usamos la definición de potencia de un punto, que expresamos así:

   DC · CE = CB²              (1)

   DC · CE = (AB + AC)·(AB - AC)

   DC · CE = AB² - AC²           (2)

   Igualamos (1) y (2):

   CB² = AB² - AC²  

   AB² = CB² + AC²     Quod erat demostrandum (Q.E.D.)

 

7ª demostración del Teorema de Pitágoras (de 367) o demostración de Garfield

   Basta con calcular el área de la figura de dos formas distintas:

   La figura (completa) es un trapecio de bases a, b y altura a+b, que según la fórmula del área del trapecio [(bas mayor + bas menor) · altura / 2] podemos expresarlo así:

   Área = (a+b)·(a+b)/2 = a²/2 + b²/2 + ab

   Tres triángulos rectángulos:

   Área = ab/2 + ab/2 + c²/2 = ab +c²/2

Igualando estas dos expresiones y simplificando:

     a² /2 + b² /2 = c²/2

  Esto es:

      a² + b² = c²        Quod erat demostrandum (Q.E.D.) 

6ª demostración del Teorema de Pitágoras

   Para esta demostración hemos de utilizar el concepto de potencia de un punto, muy utilizado en dibujo técnico. Explicamos el concepto de potencia de un punto.

   Sean una circunferecia C y un punto fijo P (que en este caso, para no complicar la cosa, será exterior a la circunferencia), la potencia del punto P respecto a C es el producto de las distancias a cualquier par de puntos de la circunferencia alineados con P. Para entender mejor esto, vamos a demostrarlo on el Teorema de Tales, que postula que dadas dos rectas secantes seccionadas por rectas paraleleas, los segmentos entre rectas son proporcionales. Entonces podemos expresar según la imagen de abajo:

           PA/PB = PA’/PB’   

           ó PA/PA’ = PB/PB’

           ó PA/PB’ = PB/PA’

   Con lo que podemos escribirlo así:

          PA · PA’ = PB · PB’

  Y nos llevamos esta relación al dibujo de arriba, podemos escribir:

             AD · AE =  AC²

    Como BE = BC = BD= a y AD = c - a; AE = c + a; AC = b entonces sustitutímos:

   (c - a)·(c + a) = b²

   Según las igualdades notables aquñi demostradas, operamos:

   c ² - a² = b²

   Que podemos ponerlo así:

      c² = b² + a²               Quod erat demostrandum (Q.E.D.)

5ª demostración del Teorema de Pitágoras (de 367 conocidas)

Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados iguales:

• Uno de ellos –centro- está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
• El otro cuadrado –derecha- lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris (c²) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul (b² + a²), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

Quizá esta forma no quede muy clara, o incluso inductiva, por lo que recurriremos a un razonamiento deductivo. Fijémonos pues en la figura del centro. Si el valor del lado del cuadrado amarillo es a y el lado del cuadrado azul es b, el área del cuadrado total es, según la Igualdad Notable I que demostramos anteriormente de forma gráfica:

   (a + b)²  = a² + b² + 2 · a · b  

Y si nos fijamos en la figura de la izquierda, el área total será el área de los cuadro cuadrados más la del cuadrado gris de lado c, que se puede expresar de esta manera:

   (a + b)²  = c² + 4 (a · b)/2

Donde (a · b)/2 es el área de uno de los triángulos. Si igualamos las expresiones nos queda:

   a² + b² + 2 · a · b = c² + 4 (a · b)/2

   a² + b² = c²

                                                                                                                                     ^Q.E.D

Demostración de Euclides de que √2 es irracional (Demostración sagrada nº 2)

El objetivo de Euclides era probar que √2 no se puede escribir como una fracción. Debido a que usó una reducción al absurdo el primer paso es suponer que lo contrario es cierto, es decir, que √2 se podría escribir como alguna fracción desconocida. Esta hipotética fracción se representa p/q, donde p y q son dos números enteros.

antes de embarcarnos en la demostración en sí, todo lo que se requiere es una comprensión básica de algunas propiedades de las fracciones y los números pares.

1) Si se toma cualquier número y se multiplica por 2, el nuevo número será par.

2) Si se sabe que el cuadrado de un número es par, entonces el número mismo debe ser también par.

3) Las fracciones se pueden simplaficar: 16/24 es lo mismo que 8/12; sólo hay que dividir numerador y denominador de la primera fracción por 2 (factor común). Es más, 8/12 es lo mismo que 4/6, que es lo mismo que 2/3. Sin embargo 2/3 no puede ser simplificado porque dos y tres no tienen factores comunes. Es imposible continuar simplificando una fracción por siempre.

Ahora recordemos que Euclides cree que √2 no se puede escribir como una fracción. Sin embargo adopta el método de prueba por contradicción y trabaja con la suposición de que la fracción p/q existe y explora las consecuencias de su existencia:

                                                   √2 = p/q

Si se elevan ambos miembros al cuadrado:

                                                   2 = p²/q²

Multiplicamos ambos miembros por q²

                                                  2q² = p²

Ahora, según el punto 1, sabemos que p² debe ser par. Es más, por el punto 2 sabemos que el mismo p también ha de ser par. Pero si p es par entonces se puede escribir como 2m, donde m es otor número entero. esto se sigue del punyo 1. Lo introducimos en la ecuación y resulta:

                                                     2q² = (2m)² = 4m²

Dividimos por 2 ambos lados:

                                                    q² = 2m²

Pero por el mismo argumento que el usado antes sabemos que q² debe ser par, y así el mismo q también tiene que ser par. Si éste es el caso, entonces q se puede escribir como 2n, donde n es algún otro número entero. Si volvemos al principio, entonces:

                                                     √2 = p/q = 2m/2n

La fracción 2m/2n se puede simplificar dividiendo el numerador y el denominador por 2, y se obtiene:

                                                       √2 = m/n

Ahora se obtiene una fracción m/n que es más sencilla que p/q.

Sin embargo nos encontramos en la posición de poder repetir exactamente el mismo proceso sobre m/n, y al final del proceso generamos una fracción aún más sencilla, digamos g/h. Esta fracción puede ser pasada otra vez por la piedra del molino, y la nueva fracción, llamémosla e/f, será más simple aún. Podemos volver a tratar esta fracción y repetir el proceso una y otra vez, en una sucesión sin fin. Pero por el punto 3 sabemos que las fracciones no pueden simplificarse indefinidamente. Siempre existe la fracción más simple, pero nuestra fracción hipotética original p/q no parece obedecer esta regla. Por lo tanto, estamos justificados para decir que hemos encontrado una contradicción. Si √2 se pudiera escribir como una fracción la consecuencia sería un absurdo, y así lo correcto es decir que √2 no se puede escribir como una fracción. Por tanto √2 es un número irracional. 

 

4ª demostación del Teorema de Pitágoras.

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

          

                                     (r/u) = (s/v) = r’

siendo r’ la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

 

 

obtenemos después de simplificar que:

pero siendo la razón de semejanza, está claro que:

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

   

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:

(I)

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

pero según (I) , así que:

y por lo tanto:

                                Q.E.D.

3ª demostración del Teorema de Pitágoras

China: el Chou Pei Suan Ching, y el Chui Chang Suang Shu:

 

El Chou Pei es una obra matemática de datación discutida, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 a.C. (Anterior a Pitágoras). Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al Chui Chang parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.

El Chou Pei demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c (imagen de arriba). Los lados a y b son los catetos y el lado c es la hipotenusa.

Utilizando la nomenclatura de la imagen queremos demostrar que c² = a² + b²

Es evidente que el área del cuadrado mayor es igual a 4 veces el área de uno de los triángulos más el área del cuadrado pequeño que queda en el centro. El lado de este cuadrado central es b - a, con lo cual su área es (b - a)².

 Área de un triángulo: (ab)/2

c² = 4(ab)/2 + (b - a)² =2ab + b² + a² - 2ab = a² + b²

                                                                       Q.E.D

2ª demostración del Teorema de Pitágoras

Esta demostación se basa en el teorema del cateto.

De un triángulo rectángulo ABC, trazamos su altura desde su ángulo recto, obteniéndo así dos triángulos semejantes ACD y ABD. Dada su semejanza, podemos esrtablecer las siguientes relaciones:

En el triángulo ABC a es a b como en el triángulo ACD b es a m. Que se escribiría una cosa tal que así:

                                                    (a/b) = (b/m)

Lo que es igual a:                        b² = a · m                      (1)

En el triángulo ABC a es a c como en el triángulo ABD c es a n. Que se escribiría una cosa tal que así:

                                                    (a/c) = (c/n)

Lo que es igual a:                        c² = a · n                        (2)

 

Según las ecuaciones 1 y 2, si las sumamos queda:                  

                                       b² + c² = a · n + a · m

                                        b² + c² = a ( n + m )

                                        b² + c² = a²

                                                     Q.E.D

                       (quod erat demonstrandum)

 

Teorema de Pitágoras (demostración sagrada número 1)

Bueno, primero explico el título. Para mí y para otros pocos más hay tres demostrasiones mu sensillitas pero muy importantes (como las tres manifestaciones de Dios, pues igual) que nunca está de más ver: La del teorema de pitágoras, la de la irracionalidad de √2 y la de que existen infinitos números primos. Vamos a empezar por Pitágoras:

Es famosa la frase "en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".  Existen varias formas de demostrarlo. Por lo pronto vamos a poner una, aunque ampliaremos otro día con alguna más:

Antes de empezar: el área del cuadrado se calcula elevando su lado al cuadrado. La del triángulo es (base x altura) / 2

En la imagen de arriba se ven dos cuadrados: uno con lado "r", de color rosa, y otro con lado "x + y", el más grande. Al mismo tiempo observamos cuatro triángulos rectángulos, con catetos "x" e "y", e hipotenusa "r". Lo que queremos demostrara es que r² = x² + y². Para ello vamos a empezar escribiendo la relación existente entre las áreas de los dos cuadrados.

(x + y)² = área del cuadrado grande

r²= área del cuadrado rosa

(x*y) / 2 = área del triángulo rectángulo

El área del cuadrado grande es igual a la del cuadrado rosa más cuatro veces el áres de uno de los triángulos. Es decir:

(x + y)² = r² + 4(x*y) / 2   Simplificamos la parte de la derecha:

(x + y)² = r² + 2(x*y)    Desarrollamos el paréntesis del primer miembro

x² + 2xy + y² = r² + 2xy    Restamos 2xy en los dos miembros

x² + y² = r²

Pues ya está hecho... fácil, no? : )